Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3408 / 5456
↖ ↑ ↗
← S 51.179343°
W 30.234375°		 ← 3 063.27 m → S 51.179343°
W 30.190430°		 →
↑
3 062.35 m
↓
↑
3 062.35 m
↓
S 51.206883°
W 30.234375°		 ← 3 061.44 m →
9 377 992 m²		 S 51.206883°
W 30.190430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41607666015625 y=0.66607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41607666015625 × 213)
    floor (0.41607666015625 × 8192)
    floor (3408.5)     		tx = 3408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66607666015625 × 213)
    floor (0.66607666015625 × 8192)
    floor (5456.5)     		ty = 5456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3408 / 5456 ti = "13/3408/5456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3408/5456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3408 ÷ 213
    3408 ÷ 8192     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5456 ÷ 213
    5456 ÷ 8192     		y = 0.666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666015625 × 2 - 1) × π
    -0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04310693573242))-π/2
    2×atan(0.352358225170011)-π/2
    2×0.338774141408772-π/2
    0.677548282817545-1.57079632675     		φ = -0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3408 KachelY 5456 -0.52768939 -0.89324804 -30.234375 -51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 3409 KachelY 5456 -0.52692240 -0.89324804 -30.190430 -51.179343
    Unten links KachelX 3408 KachelY + 1 5457 -0.52768939 -0.89372871 -30.234375 -51.206883
    Unten rechts KachelX + 1 3409 KachelY + 1 5457 -0.52692240 -0.89372871 -30.190430 -51.206883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89324804--0.89372871) × R
    0.000480669999999961 × 6371000     		dl = 3062.34856999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89324804--0.89372871) × R
    0.000480669999999961 × 6371000     		dr = 3062.34856999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.52692240) × cos(-0.89324804) × R
    0.000766990000000023 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 3063.26812849277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.52692240) × cos(-0.89372871) × R
    0.000766990000000023 × 0.626510182651834 × 6371000     		du = 3061.43780364495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89324804)-sin(-0.89372871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.626510182651834)×R²
    abs(-0.52692240--0.52768939)×0.000374568169686396×R²
    0.000766990000000023×0.000374568169686396×6371000²
    0.000766990000000023×0.000374568169686396×40589641000000     		ar = 9377992.40703615m²