Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 342 / 86
↖ ↑ ↗
← N 75.845168°
E 60.468750°		 ← 19.119 km → N 75.845168°
E 61.171875°		 →
↑
19.233 km
↓
↑
19.233 km
↓
N 75.672198°
E 60.468750°		 ← 19.348 km →
369.932 km²		 N 75.672198°
E 61.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6689453125 y=0.1689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6689453125 × 29)
    floor (0.6689453125 × 512)
    floor (342.5)     		tx = 342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1689453125 × 29)
    floor (0.1689453125 × 512)
    floor (86.5)     		ty = 86
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 342 / 86 ti = "9/342/86"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/342/86.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 342 ÷ 29
    342 ÷ 512     		x = 0.66796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86 ÷ 29
    86 ÷ 512     		y = 0.16796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66796875 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16796875 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.05537878} λ = 1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08621387146484))-π/2
    2×atan(8.05436251093064)-π/2
    2×1.44727211976903-π/2
    2.89454423953806-1.57079632675     		φ = 1.32374791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32374791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.845168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 342 KachelY 86 1.05537878 1.32374791 60.468750 75.845168
    Oben rechts KachelX + 1 343 KachelY 86 1.06765063 1.32374791 61.171875 75.845168
    Unten links KachelX 342 KachelY + 1 87 1.05537878 1.32072900 60.468750 75.672198
    Unten rechts KachelX + 1 343 KachelY + 1 87 1.06765063 1.32072900 61.171875 75.672198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32374791-1.32072900) × R
    0.00301890999999999 × 6371000     		dl = 19233.4756099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32374791-1.32072900) × R
    0.00301890999999999 × 6371000     		dr = 19233.4756099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.05537878-1.06765063) × cos(1.32374791) × R
    0.0122718499999999 × 0.244543060104282 × 6371000     		do = 19119.3439368884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.05537878-1.06765063) × cos(1.32072900) × R
    0.0122718499999999 × 0.247469192461635 × 6371000     		du = 19348.12054139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32374791)-sin(1.32072900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244543060104282-0.247469192461635)×R²
    abs(1.06765063-1.05537878)×0.00292613235735292×R²
    0.0122718499999999×0.00292613235735292×6371000²
    0.0122718499999999×0.00292613235735292×40589641000000     		ar = 369931800.868378m²