Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 344 / 89
↖ ↑ ↗
← N 75.320025°
E 61.875000°		 ← 19.813 km → N 75.320025°
E 62.578125°		 →
↑
19.931 km
↓
↑
19.931 km
↓
N 75.140778°
E 61.875000°		 ← 20.050 km →
397.265 km²		 N 75.140778°
E 62.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6728515625 y=0.1748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6728515625 × 29)
    floor (0.6728515625 × 512)
    floor (344.5)     		tx = 344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1748046875 × 29)
    floor (0.1748046875 × 512)
    floor (89.5)     		ty = 89
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 344 / 89 ti = "9/344/89"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/344/89.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 344 ÷ 29
    344 ÷ 512     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89 ÷ 29
    89 ÷ 512     		y = 0.173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173828125 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04939833255664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04939833255664))-π/2
    2×atan(7.76322881883045)-π/2
    2×1.44268937988364-π/2
    2.88537875976729-1.57079632675     		φ = 1.31458243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31458243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.320025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 344 KachelY 89 1.07992247 1.31458243 61.875000 75.320025
    Oben rechts KachelX + 1 345 KachelY 89 1.09219432 1.31458243 62.578125 75.320025
    Unten links KachelX 344 KachelY + 1 90 1.07992247 1.31145398 61.875000 75.140778
    Unten rechts KachelX + 1 345 KachelY + 1 90 1.09219432 1.31145398 62.578125 75.140778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31458243-1.31145398) × R
    0.00312844999999995 × 6371000     		dl = 19931.3549499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31458243-1.31145398) × R
    0.00312844999999995 × 6371000     		dr = 19931.3549499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.09219432) × cos(1.31458243) × R
    0.0122718499999999 × 0.25341986587156 × 6371000     		do = 19813.3677315247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.09219432) × cos(1.31145398) × R
    0.0122718499999999 × 0.256444946876806 × 6371000     		du = 20049.8805327941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31458243)-sin(1.31145398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25341986587156-0.256444946876806)×R²
    abs(1.09219432-1.07992247)×0.00302508100524618×R²
    0.0122718499999999×0.00302508100524618×6371000²
    0.0122718499999999×0.00302508100524618×40589641000000     		ar = 397264599.317097m²