Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34432 / 32384
↖ ↑ ↗
← N  2.108899°
E  9.140625°		 ← 610.44 m → N  2.108899°
E  9.146118°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
N  2.103409°
E  9.140625°		 ← 610.44 m →
372 615 m²		 N  2.103409°
E  9.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525398254394531 y=0.494148254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525398254394531 × 216)
    floor (0.525398254394531 × 65536)
    floor (34432.5)     		tx = 34432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494148254394531 × 216)
    floor (0.494148254394531 × 65536)
    floor (32384.5)     		ty = 32384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34432 / 32384 ti = "16/34432/32384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34432/32384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34432 ÷ 216
    34432 ÷ 65536     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32384 ÷ 216
    32384 ÷ 65536     		y = 0.494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494140625 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(1.03750162450371)-π/2
    2×0.803801775994266-π/2
    1.60760355198853-1.57079632675     		φ = 0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34432 KachelY 32384 0.15953400 0.03680723 9.140625 2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 34433 KachelY 32384 0.15962988 0.03680723 9.146118 2.108899
    Unten links KachelX 34432 KachelY + 1 32385 0.15953400 0.03671142 9.140625 2.103409
    Unten rechts KachelX + 1 34433 KachelY + 1 32385 0.15962988 0.03671142 9.146118 2.103409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03680723-0.03671142) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03680723-0.03671142) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.15962988) × cos(0.03680723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 610.437744417214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.15962988) × cos(0.03671142) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999326211499547 × 6371000     		du = 610.439895297245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03680723)-sin(0.03671142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999326211499547)×R²
    abs(0.15962988-0.15953400)×3.52111781798392e-06×R²
    9.58799999999926e-05×3.52111781798392e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.52111781798392e-06×40589641000000     		ar = 372615.219443769m²