Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3456 / 5505
↖ ↑ ↗
← S 52.509535°
W 28.125000°		 ← 2 974.06 m → S 52.509535°
W 28.081055°		 →
↑
2 973.15 m
↓
↑
2 973.15 m
↓
S 52.536273°
W 28.125000°		 ← 2 972.25 m →
8 839 660 m²		 S 52.536273°
W 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42193603515625 y=0.67205810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42193603515625 × 213)
    floor (0.42193603515625 × 8192)
    floor (3456.5)     		tx = 3456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67205810546875 × 213)
    floor (0.67205810546875 × 8192)
    floor (5505.5)     		ty = 5505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3456 / 5505 ti = "13/3456/5505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3456/5505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3456 ÷ 213
    3456 ÷ 8192     		x = 0.421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5505 ÷ 213
    5505 ÷ 8192     		y = 0.6719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421875 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08068946503455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49087385} λ = -0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08068946503455))-π/2
    2×atan(0.339361467100982)-π/2
    2×0.32716602819052-π/2
    0.654332056381041-1.57079632675     		φ = -0.91646427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91646427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.509535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3456 KachelY 5505 -0.49087385 -0.91646427 -28.125000 -52.509535
    Oben rechts KachelX + 1 3457 KachelY 5505 -0.49010686 -0.91646427 -28.081055 -52.509535
    Unten links KachelX 3456 KachelY + 1 5506 -0.49087385 -0.91693094 -28.125000 -52.536273
    Unten rechts KachelX + 1 3457 KachelY + 1 5506 -0.49010686 -0.91693094 -28.081055 -52.536273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91646427--0.91693094) × R
    0.000466670000000002 × 6371000     		dl = 2973.15457000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91646427--0.91693094) × R
    0.000466670000000002 × 6371000     		dr = 2973.15457000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49087385--0.49010686) × cos(-0.91646427) × R
    0.000766990000000023 × 0.608629396506284 × 6371000     		do = 2974.0634621248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49087385--0.49010686) × cos(-0.91693094) × R
    0.000766990000000023 × 0.608259048771312 × 6371000     		du = 2972.25376040289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91646427)-sin(-0.91693094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608629396506284-0.608259048771312)×R²
    abs(-0.49010686--0.49087385)×0.00037034773497191×R²
    0.000766990000000023×0.00037034773497191×6371000²
    0.000766990000000023×0.00037034773497191×40589641000000     		ar = 8839660.27283765m²