Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3458 / 5506
↖ ↑ ↗
← S 52.536273°
W 28.037109°		 ← 2 972.25 m → S 52.536273°
W 27.993164°		 →
↑
2 971.37 m
↓
↑
2 971.37 m
↓
S 52.562995°
W 28.037109°		 ← 2 970.44 m →
8 828 980 m²		 S 52.562995°
W 27.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42218017578125 y=0.67218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42218017578125 × 213)
    floor (0.42218017578125 × 8192)
    floor (3458.5)     		tx = 3458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67218017578125 × 213)
    floor (0.67218017578125 × 8192)
    floor (5506.5)     		ty = 5506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3458 / 5506 ti = "13/3458/5506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3458/5506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3458 ÷ 213
    3458 ÷ 8192     		x = 0.422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5506 ÷ 213
    5506 ÷ 8192     		y = 0.672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.34423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08145645542847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48933987} λ = -0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08145645542847))-π/2
    2×atan(0.339101279908942)-π/2
    2×0.326932692756747-π/2
    0.653865385513495-1.57079632675     		φ = -0.91693094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91693094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.536273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3458 KachelY 5506 -0.48933987 -0.91693094 -28.037109 -52.536273
    Oben rechts KachelX + 1 3459 KachelY 5506 -0.48857288 -0.91693094 -27.993164 -52.536273
    Unten links KachelX 3458 KachelY + 1 5507 -0.48933987 -0.91739733 -28.037109 -52.562995
    Unten rechts KachelX + 1 3459 KachelY + 1 5507 -0.48857288 -0.91739733 -27.993164 -52.562995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91693094--0.91739733) × R
    0.000466390000000039 × 6371000     		dl = 2971.37069000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91693094--0.91739733) × R
    0.000466390000000039 × 6371000     		dr = 2971.37069000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48933987--0.48857288) × cos(-0.91693094) × R
    0.000766990000000023 × 0.608259048771312 × 6371000     		do = 2972.25376040289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48933987--0.48857288) × cos(-0.91739733) × R
    0.000766990000000023 × 0.60788879089538 × 6371000     		du = 2970.44449777658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91693094)-sin(-0.91739733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608259048771312-0.60788879089538)×R²
    abs(-0.48857288--0.48933987)×0.000370257875932367×R²
    0.000766990000000023×0.000370257875932367×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370257875932367×40589641000000     		ar = 8828979.87197646m²