Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3472 / 5008
↖ ↑ ↗
← S 37.160316°
W 27.421875°		 ← 3 894.28 m → S 37.160316°
W 27.377930°		 →
↑
3 893.38 m
↓
↑
3 893.38 m
↓
S 37.195330°
W 27.421875°		 ← 3 892.48 m →
15 158 420 m²		 S 37.195330°
W 27.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42388916015625 y=0.61138916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42388916015625 × 213)
    floor (0.42388916015625 × 8192)
    floor (3472.5)     		tx = 3472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61138916015625 × 213)
    floor (0.61138916015625 × 8192)
    floor (5008.5)     		ty = 5008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3472 / 5008 ti = "13/3472/5008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3472/5008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3472 ÷ 213
    3472 ÷ 8192     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5008 ÷ 213
    5008 ÷ 8192     		y = 0.611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611328125 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.699495239255859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699495239255859))-π/2
    2×atan(0.496836023830374)-π/2
    2×0.461113225993472-π/2
    0.922226451986944-1.57079632675     		φ = -0.64856987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64856987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.160316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3472 KachelY 5008 -0.47860201 -0.64856987 -27.421875 -37.160316
    Oben rechts KachelX + 1 3473 KachelY 5008 -0.47783502 -0.64856987 -27.377930 -37.160316
    Unten links KachelX 3472 KachelY + 1 5009 -0.47860201 -0.64918098 -27.421875 -37.195330
    Unten rechts KachelX + 1 3473 KachelY + 1 5009 -0.47783502 -0.64918098 -27.377930 -37.195330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64856987--0.64918098) × R
    0.000611110000000026 × 6371000     		dl = 3893.38181000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64856987--0.64918098) × R
    0.000611110000000026 × 6371000     		dr = 3893.38181000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47783502) × cos(-0.64856987) × R
    0.000766990000000023 × 0.796948479384723 × 6371000     		do = 3894.28339698927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47783502) × cos(-0.64918098) × R
    0.000766990000000023 × 0.79657919125966 × 6371000     		du = 3892.47887304407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64856987)-sin(-0.64918098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796948479384723-0.79657919125966)×R²
    abs(-0.47783502--0.47860201)×0.000369288125062539×R²
    0.000766990000000023×0.000369288125062539×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369288125062539×40589641000000     		ar = 15158419.7622231m²