Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 350 / 102
↖ ↑ ↗
← N 72.816073°
E 66.093750°		 ← 23.099 km → N 72.816073°
E 66.796875°		 →
↑
23.235 km
↓
↑
23.235 km
↓
N 72.607120°
E 66.093750°		 ← 23.371 km →
539.850 km²		 N 72.607120°
E 66.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6845703125 y=0.2001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6845703125 × 29)
    floor (0.6845703125 × 512)
    floor (350.5)     		tx = 350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2001953125 × 29)
    floor (0.2001953125 × 512)
    floor (102.5)     		ty = 102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 350 / 102 ti = "9/350/102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/350/102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 350 ÷ 29
    350 ÷ 512     		x = 0.68359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102 ÷ 29
    102 ÷ 512     		y = 0.19921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68359375 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.15355355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19921875 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.15355355} λ = 1.15355355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88986433062109))-π/2
    2×atan(6.61847069632126)-π/2
    2×1.42083828077337-π/2
    2.84167656154673-1.57079632675     		φ = 1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.15355355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 350 KachelY 102 1.15355355 1.27088023 66.093750 72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 351 KachelY 102 1.16582540 1.27088023 66.796875 72.816073
    Unten links KachelX 350 KachelY + 1 103 1.15355355 1.26723331 66.093750 72.607120
    Unten rechts KachelX + 1 351 KachelY + 1 103 1.16582540 1.26723331 66.796875 72.607120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27088023-1.26723331) × R
    0.00364692 × 6371000     		dl = 23234.52732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27088023-1.26723331) × R
    0.00364692 × 6371000     		dr = 23234.52732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.15355355-1.16582540) × cos(1.27088023) × R
    0.0122718499999999 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 23098.6719597822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.15355355-1.16582540) × cos(1.26723331) × R
    0.0122718499999999 × 0.298922203589153 × 6371000     		du = 23370.9205174599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27088023)-sin(1.26723331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.298922203589153)×R²
    abs(1.16582540-1.15355355)×0.00348215376130262×R²
    0.0122718499999999×0.00348215376130262×6371000²
    0.0122718499999999×0.00348215376130262×40589641000000     		ar = 539850106.315991m²