Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 351 / 737
↖ ↑ ↗
← S 61.773123°
W 56.601563°		 ← 18.489 km → S 61.773123°
W 56.250000°		 →
↑
18.439 km
↓
↑
18.439 km
↓
S 61.938950°
W 56.601563°		 ← 18.389 km →
340.005 km²		 S 61.938950°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34326171875 y=0.72021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34326171875 × 210)
    floor (0.34326171875 × 1024)
    floor (351.5)     		tx = 351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72021484375 × 210)
    floor (0.72021484375 × 1024)
    floor (737.5)     		ty = 737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 351 / 737 ti = "10/351/737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/351/737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 351 ÷ 210
    351 ÷ 1024     		x = 0.3427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 737 ÷ 210
    737 ÷ 1024     		y = 0.7197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    -0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    -0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98788363} λ = -0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38058270905762))-π/2
    2×atan(0.251431998661621)-π/2
    2×0.246325971794247-π/2
    0.492651943588495-1.57079632675     		φ = -1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 351 KachelY 737 -0.98788363 -1.07814438 -56.601563 -61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 352 KachelY 737 -0.98174770 -1.07814438 -56.250000 -61.773123
    Unten links KachelX 351 KachelY + 1 738 -0.98788363 -1.08103862 -56.601563 -61.938950
    Unten rechts KachelX + 1 352 KachelY + 1 738 -0.98174770 -1.08103862 -56.250000 -61.938950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07814438--1.08103862) × R
    0.00289424000000005 × 6371000     		dl = 18439.2030400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07814438--1.08103862) × R
    0.00289424000000005 × 6371000     		dr = 18439.2030400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98788363--0.98174770) × cos(-1.07814438) × R
    0.00613593000000001 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 18489.1185259817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98788363--0.98174770) × cos(-1.08103862) × R
    0.00613593000000001 × 0.470412091102688 × 6371000     		du = 18389.3541836196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07814438)-sin(-1.08103862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.470412091102688)×R²
    abs(-0.98174770--0.98788363)×0.00255203920917718×R²
    0.00613593000000001×0.00255203920917718×6371000²
    0.00613593000000001×0.00255203920917718×40589641000000     		ar = 340005060.390016m²