Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 352 / 735
↖ ↑ ↗
← S 61.438767°
W 56.250000°		 ← 18.690 km → S 61.438767°
W 55.898437°		 →
↑
18.640 km
↓
↑
18.640 km
↓
S 61.606397°
W 56.250000°		 ← 18.589 km →
347.431 km²		 S 61.606397°
W 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34423828125 y=0.71826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34423828125 × 210)
    floor (0.34423828125 × 1024)
    floor (352.5)     		tx = 352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71826171875 × 210)
    floor (0.71826171875 × 1024)
    floor (735.5)     		ty = 735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 352 / 735 ti = "10/352/735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/352/735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 352 ÷ 210
    352 ÷ 1024     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 735 ÷ 210
    735 ÷ 1024     		y = 0.7177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7177734375 × 2 - 1) × π
    -0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36831086275488))-π/2
    2×atan(0.254536543793655)-π/2
    2×0.249243772840783-π/2
    0.498487545681565-1.57079632675     		φ = -1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 352 KachelY 735 -0.98174770 -1.07230878 -56.250000 -61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 353 KachelY 735 -0.97561178 -1.07230878 -55.898437 -61.438767
    Unten links KachelX 352 KachelY + 1 736 -0.98174770 -1.07523446 -56.250000 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 353 KachelY + 1 736 -0.97561178 -1.07523446 -55.898437 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07230878--1.07523446) × R
    0.00292567999999993 × 6371000     		dl = 18639.5072799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07230878--1.07523446) × R
    0.00292567999999993 × 6371000     		dr = 18639.5072799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.97561178) × cos(-1.07230878) × R
    0.00613591999999996 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 18689.769163041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.97561178) × cos(-1.07523446) × R
    0.00613591999999996 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 18589.2369228835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07230878)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.97561178--0.98174770)×0.0025716867442358×R²
    0.00613591999999996×0.0025716867442358×6371000²
    0.00613591999999996×0.0025716867442358×40589641000000     		ar = 347431400.487832m²