Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 352 / 800
↖ ↑ ↗
← S 70.612614°
W 56.250000°		 ← 12.977 km → S 70.612614°
W 55.898437°		 →
↑
12.939 km
↓
↑
12.939 km
↓
S 70.728980°
W 56.250000°		 ← 12.902 km →
167.424 km²		 S 70.728980°
W 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34423828125 y=0.78173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34423828125 × 210)
    floor (0.34423828125 × 1024)
    floor (352.5)     		tx = 352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78173828125 × 210)
    floor (0.78173828125 × 1024)
    floor (800.5)     		ty = 800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 352 / 800 ti = "10/352/800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/352/800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 352 ÷ 210
    352 ÷ 1024     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 800 ÷ 210
    800 ÷ 1024     		y = 0.78125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78125 × 2 - 1) × π
    -0.5625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76714586759375))-π/2
    2×atan(0.170819836161558)-π/2
    2×0.1691868574588-π/2
    0.3383737149176-1.57079632675     		φ = -1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 352 KachelY 800 -0.98174770 -1.23242261 -56.250000 -70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 353 KachelY 800 -0.97561178 -1.23242261 -55.898437 -70.612614
    Unten links KachelX 352 KachelY + 1 801 -0.98174770 -1.23445357 -56.250000 -70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 353 KachelY + 1 801 -0.97561178 -1.23445357 -55.898437 -70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23242261--1.23445357) × R
    0.00203095999999992 × 6371000     		dl = 12939.2461599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23242261--1.23445357) × R
    0.00203095999999992 × 6371000     		dr = 12939.2461599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.97561178) × cos(-1.23242261) × R
    0.00613591999999996 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 12976.7070632433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.97561178) × cos(-1.23445357) × R
    0.00613591999999996 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 12901.7881586447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23242261)-sin(-1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.330036986468592)×R²
    abs(-0.97561178--0.98174770)×0.00191647926622429×R²
    0.00613591999999996×0.00191647926622429×6371000²
    0.00613591999999996×0.00191647926622429×40589641000000     		ar = 167424167.512441m²