Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 352 / 95
↖ ↑ ↗
← N 74.211983°
E 67.500000°		 ← 21.272 km → N 74.211983°
E 68.203125°		 →
↑
21.398 km
↓
↑
21.398 km
↓
N 74.019543°
E 67.500000°		 ← 21.525 km →
457.891 km²		 N 74.019543°
E 68.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6884765625 y=0.1865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6884765625 × 29)
    floor (0.6884765625 × 512)
    floor (352.5)     		tx = 352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1865234375 × 29)
    floor (0.1865234375 × 512)
    floor (95.5)     		ty = 95
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 352 / 95 ti = "9/352/95"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/352/95.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 352 ÷ 29
    352 ÷ 512     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95 ÷ 29
    95 ÷ 512     		y = 0.185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185546875 × 2 - 1) × π
    0.62890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.97576725474023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97576725474023))-π/2
    2×atan(7.21215108864937)-π/2
    2×1.43301988305761-π/2
    2.86603976611521-1.57079632675     		φ = 1.29524344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29524344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.211983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 352 KachelY 95 1.17809725 1.29524344 67.500000 74.211983
    Oben rechts KachelX + 1 353 KachelY 95 1.19036909 1.29524344 68.203125 74.211983
    Unten links KachelX 352 KachelY + 1 96 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 353 KachelY + 1 96 1.19036909 1.29188474 68.203125 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29524344-1.29188474) × R
    0.00335869999999994 × 6371000     		dl = 21398.2776999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29524344-1.29188474) × R
    0.00335869999999994 × 6371000     		dr = 21398.2776999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.19036909) × cos(1.29524344) × R
    0.0122718399999999 × 0.272079007608098 × 6371000     		do = 21272.1959204291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.19036909) × cos(1.29188474) × R
    0.0122718399999999 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 21524.7652359994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29524344)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272079007608098-0.275309459649329)×R²
    abs(1.19036909-1.17809725)×0.00323045204123157×R²
    0.0122718399999999×0.00323045204123157×6371000²
    0.0122718399999999×0.00323045204123157×40589641000000     		ar = 457891060.221339m²