Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 353 / 31
↖ ↑ ↗
← N 82.765373°
E 68.203125°		 ← 9 845.92 m → N 82.765373°
E 68.906250°		 →
↑
9 906.08 m
↓
↑
9 906.08 m
↓
N 82.676285°
E 68.203125°		 ← 9 966.51 m →
98 131 776 m²		 N 82.676285°
E 68.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6904296875 y=0.0615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6904296875 × 29)
    floor (0.6904296875 × 512)
    floor (353.5)     		tx = 353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0615234375 × 29)
    floor (0.0615234375 × 512)
    floor (31.5)     		ty = 31
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 353 / 31 ti = "9/353/31"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/353/31.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 353 ÷ 29
    353 ÷ 512     		x = 0.689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31 ÷ 29
    31 ÷ 512     		y = 0.060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689453125 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19036909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060546875 × 2 - 1) × π
    0.87890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.76116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19036909} λ = 1.19036909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76116541811523))-π/2
    2×atan(15.818267105288)-π/2
    2×1.50766229291162-π/2
    3.01532458582323-1.57079632675     		φ = 1.44452826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19036909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44452826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.765373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 353 KachelY 31 1.19036909 1.44452826 68.203125 82.765373
    Oben rechts KachelX + 1 354 KachelY 31 1.20264094 1.44452826 68.906250 82.765373
    Unten links KachelX 353 KachelY + 1 32 1.19036909 1.44297339 68.203125 82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 354 KachelY + 1 32 1.20264094 1.44297339 68.906250 82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44452826-1.44297339) × R
    0.0015548700000001 × 6371000     		dl = 9906.07677000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44452826-1.44297339) × R
    0.0015548700000001 × 6371000     		dr = 9906.07677000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19036909-1.20264094) × cos(1.44452826) × R
    0.0122718500000001 × 0.125932805725766 × 6371000     		do = 9845.92498589635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19036909-1.20264094) × cos(1.44297339) × R
    0.0122718500000001 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 9966.51111010775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44452826)-sin(1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125932805725766-0.127475144203388)×R²
    abs(1.20264094-1.19036909)×0.00154233847762283×R²
    0.0122718500000001×0.00154233847762283×6371000²
    0.0122718500000001×0.00154233847762283×40589641000000     		ar = 98131776.254355m²