Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 354 / 482
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
E 68.906250°		 ← 9 726.77 m → S 82.853382°
E 69.609375°		 →
↑
9 667.80 m
↓
↑
9 667.80 m
↓
S 82.940327°
E 68.906250°		 ← 9 609.04 m →
93 467 362 m²		 S 82.940327°
E 69.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6923828125 y=0.9423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6923828125 × 29)
    floor (0.6923828125 × 512)
    floor (354.5)     		tx = 354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9423828125 × 29)
    floor (0.9423828125 × 512)
    floor (482.5)     		ty = 482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 354 / 482 ti = "9/354/482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/354/482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 354 ÷ 29
    354 ÷ 512     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 482 ÷ 29
    482 ÷ 512     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 354 KachelY 482 1.20264094 -1.44606432 68.906250 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 355 KachelY 482 1.21491278 -1.44606432 69.609375 -82.853382
    Unten links KachelX 354 KachelY + 1 483 1.20264094 -1.44758179 68.906250 -82.940327
    Unten rechts KachelX + 1 355 KachelY + 1 483 1.21491278 -1.44758179 69.609375 -82.940327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44758179) × R
    0.00151747000000002 × 6371000     		dl = 9667.80137000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44758179) × R
    0.00151747000000002 × 6371000     		dr = 9667.80137000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.21491278) × cos(-1.44606432) × R
    0.0122718399999999 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 9726.7663484909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.21491278) × cos(-1.44758179) × R
    0.0122718399999999 × 0.122903003175518 × 6371000     		du = 9609.03520540822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44758179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.122903003175518)×R²
    abs(1.21491278-1.20264094)×0.00150582350286359×R²
    0.0122718399999999×0.00150582350286359×6371000²
    0.0122718399999999×0.00150582350286359×40589641000000     		ar = 93467362.3121065m²