Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 355 / 101
↖ ↑ ↗
← N 73.022592°
E 69.609375°		 ← 22.829 km → N 73.022592°
E 70.312500°		 →
↑
22.964 km
↓
↑
22.964 km
↓
N 72.816073°
E 69.609375°		 ← 23.099 km →
527.340 km²		 N 72.816073°
E 70.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6943359375 y=0.1982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6943359375 × 29)
    floor (0.6943359375 × 512)
    floor (355.5)     		tx = 355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1982421875 × 29)
    floor (0.1982421875 × 512)
    floor (101.5)     		ty = 101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 355 / 101 ti = "9/355/101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/355/101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 355 ÷ 29
    355 ÷ 512     		x = 0.693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101 ÷ 29
    101 ÷ 512     		y = 0.197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.693359375 × 2 - 1) × π
    0.38671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.21491278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197265625 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21491278} λ = 1.21491278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90213617692383))-π/2
    2×atan(6.70019196128016)-π/2
    2×1.42264048902014-π/2
    2.84528097804029-1.57079632675     		φ = 1.27448465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21491278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27448465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.022592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 355 KachelY 101 1.21491278 1.27448465 69.609375 73.022592
    Oben rechts KachelX + 1 356 KachelY 101 1.22718463 1.27448465 70.312500 73.022592
    Unten links KachelX 355 KachelY + 1 102 1.21491278 1.27088023 69.609375 72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 356 KachelY + 1 102 1.22718463 1.27088023 70.312500 72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27448465-1.27088023) × R
    0.00360442000000005 × 6371000     		dl = 22963.7598200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27448465-1.27088023) × R
    0.00360442000000005 × 6371000     		dr = 22963.7598200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21491278-1.22718463) × cos(1.27448465) × R
    0.0122718500000001 × 0.291994614822817 × 6371000     		do = 22829.2942197424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21491278-1.22718463) × cos(1.27088023) × R
    0.0122718500000001 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 23098.6719597826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27448465)-sin(1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291994614822817-0.29544004982785)×R²
    abs(1.22718463-1.21491278)×0.00344543500503286×R²
    0.0122718500000001×0.00344543500503286×6371000²
    0.0122718500000001×0.00344543500503286×40589641000000     		ar = 527339963.110519m²