Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 356 / 100
↖ ↑ ↗
← N 73.226700°
E 70.312500°		 ← 22.563 km → N 73.226700°
E 71.015625°		 →
↑
22.696 km
↓
↑
22.696 km
↓
N 73.022592°
E 70.312500°		 ← 22.829 km →
515.105 km²		 N 73.022592°
E 71.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6962890625 y=0.1962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6962890625 × 29)
    floor (0.6962890625 × 512)
    floor (356.5)     		tx = 356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1962890625 × 29)
    floor (0.1962890625 × 512)
    floor (100.5)     		ty = 100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 356 / 100 ti = "9/356/100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/356/100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 356 ÷ 29
    356 ÷ 512     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100 ÷ 29
    100 ÷ 512     		y = 0.1953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1953125 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91440802322656))-π/2
    2×atan(6.78292227582966)-π/2
    2×1.42442166839607-π/2
    2.84884333679215-1.57079632675     		φ = 1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 356 KachelY 100 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 357 KachelY 100 1.23945648 1.27804701 71.015625 73.226700
    Unten links KachelX 356 KachelY + 1 101 1.22718463 1.27448465 70.312500 73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 357 KachelY + 1 101 1.23945648 1.27448465 71.015625 73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27804701-1.27448465) × R
    0.0035623600000001 × 6371000     		dl = 22695.7955600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27804701-1.27448465) × R
    0.0035623600000001 × 6371000     		dr = 22695.7955600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.23945648) × cos(1.27804701) × R
    0.0122718500000001 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 22562.7684138353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.23945648) × cos(1.27448465) × R
    0.0122718500000001 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 22829.2942197424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27804701)-sin(1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.291994614822817)×R²
    abs(1.23945648-1.22718463)×0.00340895777535077×R²
    0.0122718500000001×0.00340895777535077×6371000²
    0.0122718500000001×0.00340895777535077×40589641000000     		ar = 515105031.530415m²