Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 356 / 356
↖ ↑ ↗
← S 57.326521°
E 70.312500°		 ← 42.208 km → S 57.326521°
E 71.015625°		 →
↑
41.990 km
↓
↑
41.990 km
↓
S 57.704147°
E 70.312500°		 ← 41.773 km →
1 763.19 km²		 S 57.704147°
E 71.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6962890625 y=0.6962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6962890625 × 29)
    floor (0.6962890625 × 512)
    floor (356.5)     		tx = 356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6962890625 × 29)
    floor (0.6962890625 × 512)
    floor (356.5)     		ty = 356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 356 / 356 ti = "9/356/356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/356/356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 356 ÷ 29
    356 ÷ 512     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 356 ÷ 29
    356 ÷ 512     		y = 0.6953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6953125 × 2 - 1) × π
    -0.390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22718463027344))-π/2
    2×atan(0.293116648843543)-π/2
    2×0.28512989135969-π/2
    0.57025978271938-1.57079632675     		φ = -1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 356 KachelY 356 1.22718463 -1.00053654 70.312500 -57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 357 KachelY 356 1.23945648 -1.00053654 71.015625 -57.326521
    Unten links KachelX 356 KachelY + 1 357 1.22718463 -1.00712736 70.312500 -57.704147
    Unten rechts KachelX + 1 357 KachelY + 1 357 1.23945648 -1.00712736 71.015625 -57.704147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00053654--1.00712736) × R
    0.00659082 × 6371000     		dl = 41990.11422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00053654--1.00712736) × R
    0.00659082 × 6371000     		dr = 41990.11422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.23945648) × cos(-1.00053654) × R
    0.0122718500000001 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 42207.6671043152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.23945648) × cos(-1.00712736) × R
    0.0122718500000001 × 0.534291166586826 × 6371000     		du = 41772.9972466153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00053654)-sin(-1.00712736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.534291166586826)×R²
    abs(1.23945648-1.22718463)×0.00555957869097889×R²
    0.0122718500000001×0.00555957869097889×6371000²
    0.0122718500000001×0.00555957869097889×40589641000000     		ar = 1763185226.75828m²