Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3583 / 1537
↖ ↑ ↗
← N 40.913512°
E134.912109°		 ← 7 385.44 m → N 40.913512°
E135.000000°		 →
↑
7 389.15 m
↓
↑
7 389.15 m
↓
N 40.847060°
E134.912109°		 ← 7 392.85 m →
54 599 509 m²		 N 40.847060°
E135.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8748779296875 y=0.3753662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8748779296875 × 212)
    floor (0.8748779296875 × 4096)
    floor (3583.5)     		tx = 3583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3753662109375 × 212)
    floor (0.3753662109375 × 4096)
    floor (1537.5)     		ty = 1537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3583 / 1537 ti = "12/3583/1537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3583/1537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3583 ÷ 212
    3583 ÷ 4096     		x = 0.874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1537 ÷ 212
    1537 ÷ 4096     		y = 0.375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874755859375 × 2 - 1) × π
    0.74951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35466051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35466051} λ = 2.35466051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783864182587158))-π/2
    2×atan(2.18991818041011)-π/2
    2×1.14243591489375-π/2
    2.2848718297875-1.57079632675     		φ = 0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35466051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3583 KachelY 1537 2.35466051 0.71407550 134.912109 40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 3584 KachelY 1537 2.35619449 0.71407550 135.000000 40.913512
    Unten links KachelX 3583 KachelY + 1 1538 2.35466051 0.71291569 134.912109 40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 3584 KachelY + 1 1538 2.35619449 0.71291569 135.000000 40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71407550-0.71291569) × R
    0.00115980999999998 × 6371000     		dl = 7389.14950999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71407550-0.71291569) × R
    0.00115980999999998 × 6371000     		dr = 7389.14950999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35466051-2.35619449) × cos(0.71407550) × R
    0.00153398000000005 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 7385.43654455747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35466051-2.35619449) × cos(0.71291569) × R
    0.00153398000000005 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 7392.85495703536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71407550)-sin(0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.756458109966538)×R²
    abs(2.35619449-2.35466051)×0.000759073228758012×R²
    0.00153398000000005×0.000759073228758012×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759073228758012×40589641000000     		ar = 54599508.8242355m²