Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3583 / 7679
↖ ↑ ↗
← S 82.670681°
W 22.543945°		 ← 623.38 m → S 82.670681°
W 22.500000°		 →
↑
623.15 m
↓
↑
623.15 m
↓
S 82.676285°
W 22.543945°		 ← 622.91 m →
388 310 m²		 S 82.676285°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43743896484375 y=0.93743896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43743896484375 × 213)
    floor (0.43743896484375 × 8192)
    floor (3583.5)     		tx = 3583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93743896484375 × 213)
    floor (0.93743896484375 × 8192)
    floor (7679.5)     		ty = 7679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3583 / 7679 ti = "13/3583/7679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3583/7679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3583 ÷ 213
    3583 ÷ 8192     		x = 0.4373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7679 ÷ 213
    7679 ÷ 8192     		y = 0.9373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.74812658141858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39346607} λ = -0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74812658141858))-π/2
    2×atan(0.0640477371035684)-π/2
    2×0.0639603750140617-π/2
    0.127920750028123-1.57079632675     		φ = -1.44287558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44287558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.670681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3583 KachelY 7679 -0.39346607 -1.44287558 -22.543945 -82.670681
    Oben rechts KachelX + 1 3584 KachelY 7679 -0.39269908 -1.44287558 -22.500000 -82.670681
    Unten links KachelX 3583 KachelY + 1 7680 -0.39346607 -1.44297339 -22.543945 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 3584 KachelY + 1 7680 -0.39269908 -1.44297339 -22.500000 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44287558--1.44297339) × R
    9.7809999999976e-05 × 6371000     		dl = 623.147509999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44287558--1.44297339) × R
    9.7809999999976e-05 × 6371000     		dr = 623.147509999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39346607--0.39269908) × cos(-1.44287558) × R
    0.000766990000000023 × 0.127572155636544 × 6371000     		do = 623.380482508827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39346607--0.39269908) × cos(-1.44297339) × R
    0.000766990000000023 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 622.906436791659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44287558)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127572155636544-0.127475144203388)×R²
    abs(-0.39269908--0.39346607)×9.70114331556304e-05×R²
    0.000766990000000023×9.70114331556304e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.70114331556304e-05×40589641000000     		ar = 388310.295563535m²