Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3584 / 1536
↖ ↑ ↗
← N 40.979898°
E135.000000°		 ← 7 378.02 m → N 40.979898°
E135.087891°		 →
↑
7 381.76 m
↓
↑
7 381.76 m
↓
N 40.913512°
E135.000000°		 ← 7 385.44 m →
54 490 130 m²		 N 40.913512°
E135.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8751220703125 y=0.3751220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8751220703125 × 212)
    floor (0.8751220703125 × 4096)
    floor (3584.5)     		tx = 3584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3751220703125 × 212)
    floor (0.3751220703125 × 4096)
    floor (1536.5)     		ty = 1536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3584 / 1536 ti = "12/3584/1536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3584/1536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3584 ÷ 212
    3584 ÷ 4096     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1536 ÷ 212
    1536 ÷ 4096     		y = 0.375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Φ = 0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.785398163375))-π/2
    2×atan(2.19328005068878)-π/2
    2×1.14301523761224-π/2
    2.28603047522449-1.57079632675     		φ = 0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3584 KachelY 1536 2.35619449 0.71523415 135.000000 40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 3585 KachelY 1536 2.35772847 0.71523415 135.087891 40.979898
    Unten links KachelX 3584 KachelY + 1 1537 2.35619449 0.71407550 135.000000 40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 3585 KachelY + 1 1537 2.35772847 0.71407550 135.087891 40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71523415-0.71407550) × R
    0.00115865000000004 × 6371000     		dl = 7381.75915000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71523415-0.71407550) × R
    0.00115865000000004 × 6371000     		dr = 7381.75915000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.35772847) × cos(0.71523415) × R
    0.00153398000000005 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 7378.0156320163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.35772847) × cos(0.71407550) × R
    0.00153398000000005 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 7385.43654455747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71523415)-sin(0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.75569903673778)×R²
    abs(2.35772847-2.35619449)×0.000759329042398726×R²
    0.00153398000000005×0.000759329042398726×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759329042398726×40589641000000     		ar = 54490130.1909538m²