Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35842 / 31746
↖ ↑ ↗
← N  5.605052°
E 16.885986°		 ← 607.87 m → N  5.605052°
E 16.891479°		 →
↑
607.86 m
↓
↑
607.86 m
↓
N  5.599585°
E 16.885986°		 ← 607.87 m →
369 498 m²		 N  5.599585°
E 16.891479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546913146972656 y=0.484413146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546913146972656 × 216)
    floor (0.546913146972656 × 65536)
    floor (35842.5)     		tx = 35842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484413146972656 × 216)
    floor (0.484413146972656 × 65536)
    floor (31746.5)     		ty = 31746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35842 / 31746 ti = "16/35842/31746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35842/31746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35842 ÷ 216
    35842 ÷ 65536     		x = 0.546905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31746 ÷ 216
    31746 ÷ 65536     		y = 0.484405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546905517578125 × 2 - 1) × π
    0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484405517578125 × 2 - 1) × π
    0.03118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0979830228233948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29471606} λ = 0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0979830228233948))-π/2
    2×atan(1.10294406007347)-π/2
    2×0.834311470528258-π/2
    1.66862294105652-1.57079632675     		φ = 0.09782661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09782661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.605052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35842 KachelY 31746 0.29471606 0.09782661 16.885986 5.605052
    Oben rechts KachelX + 1 35843 KachelY 31746 0.29481193 0.09782661 16.891479 5.605052
    Unten links KachelX 35842 KachelY + 1 31747 0.29471606 0.09773120 16.885986 5.599585
    Unten rechts KachelX + 1 35843 KachelY + 1 31747 0.29481193 0.09773120 16.891479 5.599585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09782661-0.09773120) × R
    9.54099999999902e-05 × 6371000     		dl = 607.857109999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09782661-0.09773120) × R
    9.54099999999902e-05 × 6371000     		dr = 607.857109999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29471606-0.29481193) × cos(0.09782661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995218792044714 × 6371000     		do = 607.867466655071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29471606-0.29481193) × cos(0.09773120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995228106271688 × 6371000     		du = 607.873155670994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09782661)-sin(0.09773120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995218792044714-0.995228106271688)×R²
    abs(0.29481193-0.29471606)×9.31422697392215e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.31422697392215e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.31422697392215e-06×40589641000000     		ar = 369498.290878647m²