Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3585 / 1534
↖ ↑ ↗
← N 41.112469°
E135.087891°		 ← 7 363.17 m → N 41.112469°
E135.175781°		 →
↑
7 366.85 m
↓
↑
7 366.85 m
↓
N 41.046217°
E135.087891°		 ← 7 370.59 m →
54 270 710 m²		 N 41.046217°
E135.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8753662109375 y=0.3746337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8753662109375 × 212)
    floor (0.8753662109375 × 4096)
    floor (3585.5)     		tx = 3585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3746337890625 × 212)
    floor (0.3746337890625 × 4096)
    floor (1534.5)     		ty = 1534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3585 / 1534 ti = "12/3585/1534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3585/1534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3585 ÷ 212
    3585 ÷ 4096     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1534 ÷ 212
    1534 ÷ 4096     		y = 0.37451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.788466124950684))-π/2
    2×atan(2.20001928217461)-π/2
    2×1.14417213538627-π/2
    2.28834427077253-1.57079632675     		φ = 0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3585 KachelY 1534 2.35772847 0.71754794 135.087891 41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 3586 KachelY 1534 2.35926245 0.71754794 135.175781 41.112469
    Unten links KachelX 3585 KachelY + 1 1535 2.35772847 0.71639163 135.087891 41.046217
    Unten rechts KachelX + 1 3586 KachelY + 1 1535 2.35926245 0.71639163 135.175781 41.046217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71754794-0.71639163) × R
    0.00115631000000005 × 6371000     		dl = 7366.85101000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71754794-0.71639163) × R
    0.00115631000000005 × 6371000     		dr = 7366.85101000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35926245) × cos(0.71754794) × R
    0.00153398000000005 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 7363.16665835637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35926245) × cos(0.71639163) × R
    0.00153398000000005 × 0.754180133470919 × 6371000     		du = 7370.59232331412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71754794)-sin(0.71639163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.754180133470919)×R²
    abs(2.35926245-2.35772847)×0.000759815323285729×R²
    0.00153398000000005×0.000759815323285729×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759815323285729×40589641000000     		ar = 54270709.6645076m²