Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35856 / 31760
↖ ↑ ↗
← N  5.528510°
E 16.962891°		 ← 608.01 m → N  5.528510°
E 16.968384°		 →
↑
607.98 m
↓
↑
607.98 m
↓
N  5.523043°
E 16.962891°		 ← 608.02 m →
369 662 m²		 N  5.523043°
E 16.968384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547126770019531 y=0.484626770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547126770019531 × 216)
    floor (0.547126770019531 × 65536)
    floor (35856.5)     		tx = 35856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484626770019531 × 216)
    floor (0.484626770019531 × 65536)
    floor (31760.5)     		ty = 31760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35856 / 31760 ti = "16/35856/31760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35856/31760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35856 ÷ 216
    35856 ÷ 65536     		x = 0.547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31760 ÷ 216
    31760 ÷ 65536     		y = 0.484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29605829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    0.03076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29605829} λ = 0.29605829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0966407896340332))-π/2
    2×atan(1.10146464503212)-π/2
    2×0.833643519098325-π/2
    1.66728703819665-1.57079632675     		φ = 0.09649071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29605829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09649071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.528510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35856 KachelY 31760 0.29605829 0.09649071 16.962891 5.528510
    Oben rechts KachelX + 1 35857 KachelY 31760 0.29615417 0.09649071 16.968384 5.528510
    Unten links KachelX 35856 KachelY + 1 31761 0.29605829 0.09639528 16.962891 5.523043
    Unten rechts KachelX + 1 35857 KachelY + 1 31761 0.29615417 0.09639528 16.968384 5.523043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09649071-0.09639528) × R
    9.54299999999936e-05 × 6371000     		dl = 607.984529999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09649071-0.09639528) × R
    9.54299999999936e-05 × 6371000     		dr = 607.984529999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29605829-0.29615417) × cos(0.09649071) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99534838217992 × 6371000     		do = 608.010032370163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29605829-0.29615417) × cos(0.09639528) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995357571474134 × 6371000     		du = 608.015645664134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09649071)-sin(0.09639528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99534838217992-0.995357571474134)×R²
    abs(0.29615417-0.29605829)×9.18929421345194e-06×R²
    9.58799999999926e-05×9.18929421345194e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×9.18929421345194e-06×40589641000000     		ar = 369662.400444296m²