Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3586 / 1538
↖ ↑ ↗
← N 40.847060°
E135.175781°		 ← 7 392.85 m → N 40.847060°
E135.263672°		 →
↑
7 396.54 m
↓
↑
7 396.54 m
↓
N 40.780542°
E135.175781°		 ← 7 400.27 m →
54 708 978 m²		 N 40.780542°
E135.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8756103515625 y=0.3756103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8756103515625 × 212)
    floor (0.8756103515625 × 4096)
    floor (3586.5)     		tx = 3586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3756103515625 × 212)
    floor (0.3756103515625 × 4096)
    floor (1538.5)     		ty = 1538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3586 / 1538 ti = "12/3586/1538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3586/1538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3586 ÷ 212
    3586 ÷ 4096     		x = 0.87548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1538 ÷ 212
    1538 ÷ 4096     		y = 0.37548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87548828125 × 2 - 1) × π
    0.7509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35926245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35926245} λ = 2.35926245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782330201799316))-π/2
    2×atan(2.18656146322248)-π/2
    2×1.14185600987614-π/2
    2.28371201975227-1.57079632675     		φ = 0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35926245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3586 KachelY 1538 2.35926245 0.71291569 135.175781 40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 3587 KachelY 1538 2.36079643 0.71291569 135.263672 40.847060
    Unten links KachelX 3586 KachelY + 1 1539 2.35926245 0.71175472 135.175781 40.780542
    Unten rechts KachelX + 1 3587 KachelY + 1 1539 2.36079643 0.71175472 135.263672 40.780542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71291569-0.71175472) × R
    0.00116097000000004 × 6371000     		dl = 7396.53987000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71291569-0.71175472) × R
    0.00116097000000004 × 6371000     		dr = 7396.53987000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35926245-2.36079643) × cos(0.71291569) × R
    0.00153398000000005 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 7392.85495703536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35926245-2.36079643) × cos(0.71175472) × R
    0.00153398000000005 × 0.757216923308942 × 6371000     		du = 7400.2708296474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71291569)-sin(0.71175472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.757216923308942)×R²
    abs(2.36079643-2.35926245)×0.000758813342404574×R²
    0.00153398000000005×0.000758813342404574×6371000²
    0.00153398000000005×0.000758813342404574×40589641000000     		ar = 54708978.4865293m²