Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3586 / 7682
S 82.687480°
W 22.412109°
← 621.96 m → S 82.687480°
W 22.368164°

621.75 m

621.75 m
S 82.693072°
W 22.412109°
← 621.49 m →
386 554 m²
S 82.693072°
W 22.368164°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43780517578125 y=0.93780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43780517578125 × 213)
    floor (0.43780517578125 × 8192)
    floor (3586.5)
    tx = 3586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93780517578125 × 213)
    floor (0.93780517578125 × 8192)
    floor (7682.5)
    ty = 7682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3586 / 7682 ti = "13/3586/7682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3586/7682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3586 ÷ 213
    3586 ÷ 8192
    x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7682 ÷ 213
    7682 ÷ 8192
    y = 0.937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535
    Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.87548828125 × 3.1415926535
    Φ = -2.75042755260034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75042755260034))-π/2
    2×atan(0.0639005345256274)-π/2
    2×0.063813772435297-π/2
    0.127627544870594-1.57079632675
    φ = -1.44316878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44316878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.687480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3586 KachelY 7682 -0.39116510 -1.44316878 -22.412109 -82.687480
    Oben rechts KachelX + 1 3587 KachelY 7682 -0.39039811 -1.44316878 -22.368164 -82.687480
    Unten links KachelX 3586 KachelY + 1 7683 -0.39116510 -1.44326637 -22.412109 -82.693072
    Unten rechts KachelX + 1 3587 KachelY + 1 7683 -0.39039811 -1.44326637 -22.368164 -82.693072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.44316878--1.44326637) × R
    9.75899999999807e-05 × 6371000
    dl = 621.745889999877m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.44316878--1.44326637) × R
    9.75899999999807e-05 × 6371000
    dr = 621.745889999877m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39039811) × cos(-1.44316878) × R
    0.000766989999999967 × 0.127281345808753 × 6371000
    do = 621.959442236614m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39039811) × cos(-1.44326637) × R
    0.000766989999999967 × 0.127184548936056 × 6371000
    du = 621.486444967689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.44316878)-sin(-1.44326637))×
    abs(λ12)×abs(0.127281345808753-0.127184548936056)×
    abs(-0.39039811--0.39116510)×9.67968726965918e-05×
    0.000766989999999967×9.67968726965918e-05×6371000²
    0.000766989999999967×9.67968726965918e-05×40589641000000
    ar = 386553.685210843m²