Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3588 / 1539
↖ ↑ ↗
← N 40.780542°
E135.351562°		 ← 7 400.27 m → N 40.780542°
E135.439453°		 →
↑
7 403.99 m
↓
↑
7 403.99 m
↓
N 40.713956°
E135.351562°		 ← 7 407.68 m →
54 819 011 m²		 N 40.713956°
E135.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8760986328125 y=0.3758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8760986328125 × 212)
    floor (0.8760986328125 × 4096)
    floor (3588.5)     		tx = 3588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3758544921875 × 212)
    floor (0.3758544921875 × 4096)
    floor (1539.5)     		ty = 1539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3588 / 1539 ti = "12/3588/1539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3588/1539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3588 ÷ 212
    3588 ÷ 4096     		x = 0.8759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1539 ÷ 212
    1539 ÷ 4096     		y = 0.375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36233041} λ = 2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.780796221011475))-π/2
    2×atan(2.1832098912272)-π/2
    2×1.14127552275496-π/2
    2.28255104550992-1.57079632675     		φ = 0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3588 KachelY 1539 2.36233041 0.71175472 135.351562 40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 3589 KachelY 1539 2.36386439 0.71175472 135.439453 40.780542
    Unten links KachelX 3588 KachelY + 1 1540 2.36233041 0.71059258 135.351562 40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 3589 KachelY + 1 1540 2.36386439 0.71059258 135.439453 40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71175472-0.71059258) × R
    0.00116213999999992 × 6371000     		dl = 7403.99393999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71175472-0.71059258) × R
    0.00116213999999992 × 6371000     		dr = 7403.99393999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36233041-2.36386439) × cos(0.71175472) × R
    0.0015339799999996 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 7400.27082964526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36233041-2.36386439) × cos(0.71059258) × R
    0.0015339799999996 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 7407.68418626008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71175472)-sin(0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.757975479207299)×R²
    abs(2.36386439-2.36233041)×0.00075855589835705×R²
    0.0015339799999996×0.00075855589835705×6371000²
    0.0015339799999996×0.00075855589835705×40589641000000     		ar = 54819010.770515m²