Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3592 / 1543
↖ ↑ ↗
← N 40.513799°
E135.703125°		 ← 7 429.91 m → N 40.513799°
E135.791016°		 →
↑
7 433.62 m
↓
↑
7 433.62 m
↓
N 40.446947°
E135.703125°		 ← 7 437.31 m →
55 258 630 m²		 N 40.446947°
E135.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8770751953125 y=0.3768310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8770751953125 × 212)
    floor (0.8770751953125 × 4096)
    floor (3592.5)     		tx = 3592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3768310546875 × 212)
    floor (0.3768310546875 × 4096)
    floor (1543.5)     		ty = 1543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3592 / 1543 ti = "12/3592/1543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3592/1543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3592 ÷ 212
    3592 ÷ 4096     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1543 ÷ 212
    1543 ÷ 4096     		y = 0.376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376708984375 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.774660297860107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.774660297860107))-π/2
    2×atan(2.16985489761932)-π/2
    2×1.13894775726264-π/2
    2.27789551452528-1.57079632675     		φ = 0.70709919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70709919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.513799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3592 KachelY 1543 2.36846634 0.70709919 135.703125 40.513799
    Oben rechts KachelX + 1 3593 KachelY 1543 2.37000032 0.70709919 135.791016 40.513799
    Unten links KachelX 3592 KachelY + 1 1544 2.36846634 0.70593240 135.703125 40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 3593 KachelY + 1 1544 2.37000032 0.70593240 135.791016 40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70709919-0.70593240) × R
    0.00116678999999997 × 6371000     		dl = 7433.61908999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70709919-0.70593240) × R
    0.00116678999999997 × 6371000     		dr = 7433.61908999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.37000032) × cos(0.70709919) × R
    0.00153398000000005 × 0.760249528568918 × 6371000     		do = 7429.90844015558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.37000032) × cos(0.70593240) × R
    0.00153398000000005 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 7437.31114009743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70709919)-sin(0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760249528568918-0.76100699404595)×R²
    abs(2.37000032-2.36846634)×0.00075746547703226×R²
    0.00153398000000005×0.00075746547703226×6371000²
    0.00153398000000005×0.00075746547703226×40589641000000     		ar = 55258629.9125824m²