Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3593 / 1545
↖ ↑ ↗
← N 40.380029°
E135.791016°		 ← 7 444.71 m → N 40.380029°
E135.878906°		 →
↑
7 448.40 m
↓
↑
7 448.40 m
↓
N 40.313043°
E135.791016°		 ← 7 452.11 m →
55 478 739 m²		 N 40.313043°
E135.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8773193359375 y=0.3773193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8773193359375 × 212)
    floor (0.8773193359375 × 4096)
    floor (3593.5)     		tx = 3593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3773193359375 × 212)
    floor (0.3773193359375 × 4096)
    floor (1545.5)     		ty = 1545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3593 / 1545 ti = "12/3593/1545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3593/1545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3593 ÷ 212
    3593 ÷ 4096     		x = 0.877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1545 ÷ 212
    1545 ÷ 4096     		y = 0.377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877197265625 × 2 - 1) × π
    0.75439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.37000032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.771592336284424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37000032} λ = 2.37000032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.771592336284424))-π/2
    2×atan(2.16320806749188)-π/2
    2×1.13778038722538-π/2
    2.27556077445075-1.57079632675     		φ = 0.70476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37000032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.380029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3593 KachelY 1545 2.37000032 0.70476445 135.791016 40.380029
    Oben rechts KachelX + 1 3594 KachelY 1545 2.37153430 0.70476445 135.878906 40.380029
    Unten links KachelX 3593 KachelY + 1 1546 2.37000032 0.70359534 135.791016 40.313043
    Unten rechts KachelX + 1 3594 KachelY + 1 1546 2.37153430 0.70359534 135.878906 40.313043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70476445-0.70359534) × R
    0.00116910999999997 × 6371000     		dl = 7448.39980999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70476445-0.70359534) × R
    0.00116910999999997 × 6371000     		dr = 7448.39980999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37000032-2.37153430) × cos(0.70476445) × R
    0.00153398000000005 × 0.761764175000645 × 6371000     		do = 7444.7110594063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37000032-2.37153430) × cos(0.70359534) × R
    0.00153398000000005 × 0.7625210673055 × 6371000     		du = 7452.10815774415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70476445)-sin(0.70359534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761764175000645-0.7625210673055)×R²
    abs(2.37153430-2.37000032)×0.000756892304855206×R²
    0.00153398000000005×0.000756892304855206×6371000²
    0.00153398000000005×0.000756892304855206×40589641000000     		ar = 55478739.0324241m²