Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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6 / 36 / 36
↖ ↑ ↗
← S 21.943045°
E 22.500000°		 ← 580.160 km → S 21.943045°
E 28.125000°		 →
↑
568.882 km
↓
↑
568.882 km
↓
S 27.059126°
E 22.500000°		 ← 557.006 km →
323 672 km²		 S 27.059126°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5703125 y=0.5703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5703125 × 26)
    floor (0.5703125 × 64)
    floor (36.5)     		tx = 36
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5703125 × 26)
    floor (0.5703125 × 64)
    floor (36.5)     		ty = 36
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 36 / 36 ti = "6/36/36"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/36/36.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36 ÷ 26
    36 ÷ 64     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36 ÷ 26
    36 ÷ 64     		y = 0.5625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5625 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3926990816875))-π/2
    2×atan(0.675231906663356)-π/2
    2×0.593908967165888-π/2
    1.18781793433178-1.57079632675     		φ = -0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36 KachelY 36 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 37 KachelY 36 0.49087385 -0.38297839 28.125000 -21.943045
    Unten links KachelX 36 KachelY + 1 37 0.39269908 -0.47227084 22.500000 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 37 KachelY + 1 37 0.49087385 -0.47227084 28.125000 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38297839--0.47227084) × R
    0.08929245 × 6371000     		dl = 568882.19895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38297839--0.47227084) × R
    0.08929245 × 6371000     		dr = 568882.19895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.49087385) × cos(-0.38297839) × R
    0.09817477 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 580159.662884371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.49087385) × cos(-0.47227084) × R
    0.09817477 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 557005.826297247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38297839)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.890537558006442)×R²
    abs(0.49087385-0.39269908)×0.0370182143871775×R²
    0.09817477×0.0370182143871775×6371000²
    0.09817477×0.0370182143871775×40589641000000     		ar = 323671687294.85m²