Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 360 / 488
↖ ↑ ↗
← S 83.359512°
E 73.125000°		 ← 9 041.11 m → S 83.359512°
E 73.828125°		 →
↑
8 986.23 m
↓
↑
8 986.23 m
↓
S 83.440327°
E 73.125000°		 ← 8 931.57 m →
80 753 358 m²		 S 83.440327°
E 73.828125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7041015625 y=0.9541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7041015625 × 29)
    floor (0.7041015625 × 512)
    floor (360.5)     		tx = 360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9541015625 × 29)
    floor (0.9541015625 × 512)
    floor (488.5)     		ty = 488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 360 / 488 ti = "9/360/488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/360/488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 360 ÷ 29
    360 ÷ 512     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 488 ÷ 29
    488 ÷ 512     		y = 0.953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.953125 × 2 - 1) × π
    -0.90625 × 3.1415926535     		Φ = -2.84706834223438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.84706834223438))-π/2
    2×atan(0.0580141494453179)-π/2
    2×0.057949195618051-π/2
    0.115898391236102-1.57079632675     		φ = -1.45489794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45489794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.359512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 360 KachelY 488 1.27627202 -1.45489794 73.125000 -83.359512
    Oben rechts KachelX + 1 361 KachelY 488 1.28854386 -1.45489794 73.828125 -83.359512
    Unten links KachelX 360 KachelY + 1 489 1.27627202 -1.45630843 73.125000 -83.440327
    Unten rechts KachelX + 1 361 KachelY + 1 489 1.28854386 -1.45630843 73.828125 -83.440327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45489794--1.45630843) × R
    0.00141049000000004 × 6371000     		dl = 8986.23179000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45489794--1.45630843) × R
    0.00141049000000004 × 6371000     		dr = 8986.23179000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.28854386) × cos(-1.45489794) × R
    0.0122718400000001 × 0.115639094724005 × 6371000     		do = 9041.11456688853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.28854386) × cos(-1.45630843) × R
    0.0122718400000001 × 0.114237952716777 × 6371000     		du = 8931.56783062202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45489794)-sin(-1.45630843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.115639094724005-0.114237952716777)×R²
    abs(1.28854386-1.27627202)×0.00140114200722802×R²
    0.0122718400000001×0.00140114200722802×6371000²
    0.0122718400000001×0.00140114200722802×40589641000000     		ar = 80753358.344138m²