Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 360 / 616
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
W 53.437500°		 ← 32.291 km → S 34.307144°
W 53.085938°		 →
↑
32.235 km
↓
↑
32.235 km
↓
S 34.597042°
W 53.437500°		 ← 32.179 km →
1 039.11 km²		 S 34.597042°
W 53.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35205078125 y=0.60205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35205078125 × 210)
    floor (0.35205078125 × 1024)
    floor (360.5)     		tx = 360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60205078125 × 210)
    floor (0.60205078125 × 1024)
    floor (616.5)     		ty = 616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 360 / 616 ti = "10/360/616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/360/616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 360 ÷ 210
    360 ÷ 1024     		x = 0.3515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 616 ÷ 210
    616 ÷ 1024     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3515625 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93266032} λ = -0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 360 KachelY 616 -0.93266032 -0.59877262 -53.437500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 361 KachelY 616 -0.92652440 -0.59877262 -53.085938 -34.307144
    Unten links KachelX 360 KachelY + 1 617 -0.93266032 -0.60383229 -53.437500 -34.597042
    Unten rechts KachelX + 1 361 KachelY + 1 617 -0.92652440 -0.60383229 -53.085938 -34.597042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.60383229) × R
    0.00505967000000007 × 6371000     		dl = 32235.1575700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.60383229) × R
    0.00505967000000007 × 6371000     		dr = 32235.1575700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93266032--0.92652440) × cos(-0.59877262) × R
    0.00613591999999996 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 32291.0431709327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93266032--0.92652440) × cos(-0.60383229) × R
    0.00613591999999996 × 0.823165685885591 × 6371000     		du = 32179.1488051053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.60383229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.823165685885591)×R²
    abs(-0.92652440--0.93266032)×0.0028623380609244×R²
    0.00613591999999996×0.0028623380609244×6371000²
    0.00613591999999996×0.0028623380609244×40589641000000     		ar = 1039105615.24002m²