Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3600 / 1552
↖ ↑ ↗
← N 73.824820°
W 21.796875°		 ← 1 361.27 m → N 73.824820°
W 21.752929°		 →
↑
1 361.74 m
↓
↑
1 361.74 m
↓
N 73.812574°
W 21.796875°		 ← 1 362.28 m →
1 854 380 m²		 N 73.812574°
W 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43951416015625 y=0.18951416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43951416015625 × 213)
    floor (0.43951416015625 × 8192)
    floor (3600.5)     		tx = 3600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18951416015625 × 213)
    floor (0.18951416015625 × 8192)
    floor (1552.5)     		ty = 1552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3600 / 1552 ti = "13/3600/1552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3600/1552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3600 ÷ 213
    3600 ÷ 8192     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1552 ÷ 213
    1552 ÷ 8192     		y = 0.189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189453125 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95122356213477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95122356213477))-π/2
    2×atan(7.03729288005571)-π/2
    2×1.4296412557564-π/2
    2.85928251151279-1.57079632675     		φ = 1.28848618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28848618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.824820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3600 KachelY 1552 -0.38042724 1.28848618 -21.796875 73.824820
    Oben rechts KachelX + 1 3601 KachelY 1552 -0.37966024 1.28848618 -21.752929 73.824820
    Unten links KachelX 3600 KachelY + 1 1553 -0.38042724 1.28827244 -21.796875 73.812574
    Unten rechts KachelX + 1 3601 KachelY + 1 1553 -0.37966024 1.28827244 -21.752929 73.812574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28848618-1.28827244) × R
    0.000213739999999962 × 6371000     		dl = 1361.73753999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28848618-1.28827244) × R
    0.000213739999999962 × 6371000     		dr = 1361.73753999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(1.28848618) × R
    0.000767000000000018 × 0.278575088305804 × 6371000     		do = 1361.27304778638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37966024) × cos(1.28827244) × R
    0.000767000000000018 × 0.278780360925953 × 6371000     		du = 1362.27612414527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28848618)-sin(1.28827244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278575088305804-0.278780360925953)×R²
    abs(-0.37966024--0.38042724)×0.000205272620148411×R²
    0.000767000000000018×0.000205272620148411×6371000²
    0.000767000000000018×0.000205272620148411×40589641000000     		ar = 1854379.58178578m²