Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3600 / 528
↖ ↑ ↗
← N 78.903929°
E136.406250°		 ← 1 880.86 m → N 78.903929°
E136.494140°		 →
↑
1 882.25 m
↓
↑
1 882.25 m
↓
N 78.887002°
E136.406250°		 ← 1 883.69 m →
3 542 906 m²		 N 78.887002°
E136.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8790283203125 y=0.1290283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8790283203125 × 212)
    floor (0.8790283203125 × 4096)
    floor (3600.5)     		tx = 3600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1290283203125 × 212)
    floor (0.1290283203125 × 4096)
    floor (528.5)     		ty = 528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3600 / 528 ti = "12/3600/528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3600/528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3600 ÷ 212
    3600 ÷ 4096     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 528 ÷ 212
    528 ÷ 4096     		y = 0.12890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12890625 × 2 - 1) × π
    0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33165079751953))-π/2
    2×atan(10.2949223455174)-π/2
    2×1.47396484368687-π/2
    2.94792968737375-1.57079632675     		φ = 1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3600 KachelY 528 2.38073818 1.37713336 136.406250 78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 3601 KachelY 528 2.38227216 1.37713336 136.494140 78.903929
    Unten links KachelX 3600 KachelY + 1 529 2.38073818 1.37683792 136.406250 78.887002
    Unten rechts KachelX + 1 3601 KachelY + 1 529 2.38227216 1.37683792 136.494140 78.887002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37713336-1.37683792) × R
    0.000295439999999925 × 6371000     		dl = 1882.24823999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37713336-1.37683792) × R
    0.000295439999999925 × 6371000     		dr = 1882.24823999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.38227216) × cos(1.37713336) × R
    0.00153398000000005 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 1880.85689592117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.38227216) × cos(1.37683792) × R
    0.00153398000000005 × 0.192744577450471 × 6371000     		du = 1883.69016879128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37713336)-sin(1.37683792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192744577450471)×R²
    abs(2.38227216-2.38073818)×0.000289908601318084×R²
    0.00153398000000005×0.000289908601318084×6371000²
    0.00153398000000005×0.000289908601318084×40589641000000     		ar = 3542906.06924547m²