Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3601 / 1553
↖ ↑ ↗
← N 39.842286°
E136.494140°		 ← 7 503.81 m → N 39.842286°
E136.582031°		 →
↑
7 507.46 m
↓
↑
7 507.46 m
↓
N 39.774770°
E136.494140°		 ← 7 511.18 m →
56 362 195 m²		 N 39.774770°
E136.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8792724609375 y=0.3792724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8792724609375 × 212)
    floor (0.8792724609375 × 4096)
    floor (3601.5)     		tx = 3601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3792724609375 × 212)
    floor (0.3792724609375 × 4096)
    floor (1553.5)     		ty = 1553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3601 / 1553 ti = "12/3601/1553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3601/1553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3601 ÷ 212
    3601 ÷ 4096     		x = 0.879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1553 ÷ 212
    1553 ÷ 4096     		y = 0.379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.879150390625 × 2 - 1) × π
    0.75830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38227216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38227216} λ = 2.38227216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759320489981689))-π/2
    2×atan(2.13682373392855)-π/2
    2×1.13308769968076-π/2
    2.26617539936151-1.57079632675     		φ = 0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38227216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3601 KachelY 1553 2.38227216 0.69537907 136.494140 39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 3602 KachelY 1553 2.38380614 0.69537907 136.582031 39.842286
    Unten links KachelX 3601 KachelY + 1 1554 2.38227216 0.69420069 136.494140 39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 3602 KachelY + 1 1554 2.38380614 0.69420069 136.582031 39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69537907-0.69420069) × R
    0.00117838000000003 × 6371000     		dl = 7507.45898000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69537907-0.69420069) × R
    0.00117838000000003 × 6371000     		dr = 7507.45898000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38227216-2.38380614) × cos(0.69537907) × R
    0.00153398000000005 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 7503.80557972193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38227216-2.38380614) × cos(0.69420069) × R
    0.00153398000000005 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 7511.1785862606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69537907)-sin(0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.768565322869847)×R²
    abs(2.38380614-2.38227216)×0.000754427162906079×R²
    0.00153398000000005×0.000754427162906079×6371000²
    0.00153398000000005×0.000754427162906079×40589641000000     		ar = 56362195.3776857m²