Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3615 / 1569
↖ ↑ ↗
← N 38.754083°
E137.724609°		 ← 7 621.41 m → N 38.754083°
E137.812500°		 →
↑
7 625 m
↓
↑
7 625 m
↓
N 38.685510°
E137.724609°		 ← 7 628.73 m →
58 141 215 m²		 N 38.685510°
E137.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8826904296875 y=0.3831787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8826904296875 × 212)
    floor (0.8826904296875 × 4096)
    floor (3615.5)     		tx = 3615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3831787109375 × 212)
    floor (0.3831787109375 × 4096)
    floor (1569.5)     		ty = 1569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3615 / 1569 ti = "12/3615/1569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3615/1569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3615 ÷ 212
    3615 ÷ 4096     		x = 0.882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1569 ÷ 212
    1569 ÷ 4096     		y = 0.383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.882568359375 × 2 - 1) × π
    0.76513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.40374789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    0.23388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.734776797376221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40374789} λ = 2.40374789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734776797376221))-π/2
    2×atan(2.08501655939733)-π/2
    2×1.12359133926657-π/2
    2.24718267853315-1.57079632675     		φ = 0.67638635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40374789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67638635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.754083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3615 KachelY 1569 2.40374789 0.67638635 137.724609 38.754083
    Oben rechts KachelX + 1 3616 KachelY 1569 2.40528188 0.67638635 137.812500 38.754083
    Unten links KachelX 3615 KachelY + 1 1570 2.40374789 0.67518952 137.724609 38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 3616 KachelY + 1 1570 2.40528188 0.67518952 137.812500 38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67638635-0.67518952) × R
    0.00119683000000004 × 6371000     		dl = 7625.00393000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67638635-0.67518952) × R
    0.00119683000000004 × 6371000     		dr = 7625.00393000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40374789-2.40528188) × cos(0.67638635) × R
    0.00153398999999999 × 0.779839874768796 × 6371000     		do = 7621.41431426267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40374789-2.40528188) × cos(0.67518952) × R
    0.00153398999999999 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 7628.73073053424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67638635)-sin(0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779839874768796-0.78058850657304)×R²
    abs(2.40528188-2.40374789)×0.000748631804243671×R²
    0.00153398999999999×0.000748631804243671×6371000²
    0.00153398999999999×0.000748631804243671×40589641000000     		ar = 58141214.8899637m²