Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3616 / 4640
↖ ↑ ↗
← S 23.241346°
W 21.093750°		 ← 4 489.96 m → S 23.241346°
W 21.049805°		 →
↑
4 489.33 m
↓
↑
4 489.33 m
↓
S 23.281719°
W 21.093750°		 ← 4 488.60 m →
20 153 832 m²		 S 23.281719°
W 21.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44146728515625 y=0.56646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44146728515625 × 213)
    floor (0.44146728515625 × 8192)
    floor (3616.5)     		tx = 3616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56646728515625 × 213)
    floor (0.56646728515625 × 8192)
    floor (4640.5)     		ty = 4640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3616 / 4640 ti = "13/3616/4640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3616/4640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3616 ÷ 213
    3616 ÷ 8192     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4640 ÷ 213
    4640 ÷ 8192     		y = 0.56640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56640625 × 2 - 1) × π
    -0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417242774292969))-π/2
    2×atan(0.658860946025793)-π/2
    2×0.582579157361833-π/2
    1.16515831472367-1.57079632675     		φ = -0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3616 KachelY 4640 -0.36815539 -0.40563801 -21.093750 -23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 3617 KachelY 4640 -0.36738840 -0.40563801 -21.049805 -23.241346
    Unten links KachelX 3616 KachelY + 1 4641 -0.36815539 -0.40634266 -21.093750 -23.281719
    Unten rechts KachelX + 1 3617 KachelY + 1 4641 -0.36738840 -0.40634266 -21.049805 -23.281719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40563801--0.40634266) × R
    0.000704650000000029 × 6371000     		dl = 4489.32515000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40563801--0.40634266) × R
    0.000704650000000029 × 6371000     		dr = 4489.32515000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36738840) × cos(-0.40563801) × R
    0.000766990000000023 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 4489.95837724082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36738840) × cos(-0.40634266) × R
    0.000766990000000023 × 0.918572535646619 × 6371000     		du = 4488.59853181562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40563801)-sin(-0.40634266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.918572535646619)×R²
    abs(-0.36738840--0.36815539)×0.00027828656349127×R²
    0.000766990000000023×0.00027828656349127×6371000²
    0.000766990000000023×0.00027828656349127×40589641000000     		ar = 20153831.505185m²