Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3617 / 1567
↖ ↑ ↗
← N 38.891033°
E137.900391°		 ← 7 606.72 m → N 38.891033°
E137.988281°		 →
↑
7 610.35 m
↓
↑
7 610.35 m
↓
N 38.822591°
E137.900391°		 ← 7 614.04 m →
57 917 685 m²		 N 38.822591°
E137.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8831787109375 y=0.3826904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8831787109375 × 212)
    floor (0.8831787109375 × 4096)
    floor (3617.5)     		tx = 3617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3826904296875 × 212)
    floor (0.3826904296875 × 4096)
    floor (1567.5)     		ty = 1567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3617 / 1567 ti = "12/3617/1567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3617/1567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3617 ÷ 212
    3617 ÷ 4096     		x = 0.883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1567 ÷ 212
    1567 ÷ 4096     		y = 0.382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.883056640625 × 2 - 1) × π
    0.76611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.40681586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382568359375 × 2 - 1) × π
    0.23486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.737844758951904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40681586} λ = 2.40681586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.737844758951904))-π/2
    2×atan(2.09142313262138)-π/2
    2×1.12478644955095-π/2
    2.2495728991019-1.57079632675     		φ = 0.67877657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40681586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67877657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.891033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3617 KachelY 1567 2.40681586 0.67877657 137.900391 38.891033
    Oben rechts KachelX + 1 3618 KachelY 1567 2.40834984 0.67877657 137.988281 38.891033
    Unten links KachelX 3617 KachelY + 1 1568 2.40681586 0.67758204 137.900391 38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 3618 KachelY + 1 1568 2.40834984 0.67758204 137.988281 38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67877657-0.67758204) × R
    0.00119453000000003 × 6371000     		dl = 7610.35063000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67877657-0.67758204) × R
    0.00119453000000003 × 6371000     		dr = 7610.35063000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40681586-2.40834984) × cos(0.67877657) × R
    0.00153398000000005 × 0.778341420880445 × 6371000     		do = 7606.72026092295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40681586-2.40834984) × cos(0.67758204) × R
    0.00153398000000005 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 7614.04432978057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67877657)-sin(0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778341420880445-0.779090840599552)×R²
    abs(2.40834984-2.40681586)×0.000749419719107136×R²
    0.00153398000000005×0.000749419719107136×6371000²
    0.00153398000000005×0.000749419719107136×40589641000000     		ar = 57917684.5828778m²