Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 367 / 47
↖ ↑ ↗
← N 81.201420°
E 78.046875°		 ← 11.959 km → N 81.201420°
E 78.750000°		 →
↑
12.032 km
↓
↑
12.032 km
↓
N 81.093214°
E 78.046875°		 ← 12.105 km →
144.769 km²		 N 81.093214°
E 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7177734375 y=0.0927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7177734375 × 29)
    floor (0.7177734375 × 512)
    floor (367.5)     		tx = 367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927734375 × 29)
    floor (0.0927734375 × 512)
    floor (47.5)     		ty = 47
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 367 / 47 ti = "9/367/47"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/367/47.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 367 ÷ 29
    367 ÷ 512     		x = 0.716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47 ÷ 29
    47 ÷ 512     		y = 0.091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.716796875 × 2 - 1) × π
    0.43359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.36217494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091796875 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.36217494} λ = 1.36217494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56481587727148))-π/2
    2×atan(12.9982648733344)-π/2
    2×1.49401422754322-π/2
    2.98802845508643-1.57079632675     		φ = 1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.36217494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 367 KachelY 47 1.36217494 1.41723213 78.046875 81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 368 KachelY 47 1.37444679 1.41723213 78.750000 81.201420
    Unten links KachelX 367 KachelY + 1 48 1.36217494 1.41534358 78.046875 81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 368 KachelY + 1 48 1.37444679 1.41534358 78.750000 81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41723213-1.41534358) × R
    0.00188854999999988 × 6371000     		dl = 12031.9520499992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41723213-1.41534358) × R
    0.00188854999999988 × 6371000     		dr = 12031.9520499992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.36217494-1.37444679) × cos(1.41723213) × R
    0.0122718499999999 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 11959.123552789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.36217494-1.37444679) × cos(1.41534358) × R
    0.0122718499999999 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 12105.0188794184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41723213)-sin(1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.154827402507351)×R²
    abs(1.37444679-1.36217494)×0.00186605198100148×R²
    0.0122718499999999×0.00186605198100148×6371000²
    0.0122718499999999×0.00186605198100148×40589641000000     		ar = 144769346.962453m²