Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 368 / 496
↖ ↑ ↗
← S 83.979259°
E 78.750000°		 ← 8 200.59 m → S 83.979259°
E 79.453125°		 →
↑
8 150.74 m
↓
↑
8 150.74 m
↓
S 84.052561°
E 78.750000°		 ← 8 101.11 m →
66 435 449 m²		 S 84.052561°
E 79.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7197265625 y=0.9697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7197265625 × 29)
    floor (0.7197265625 × 512)
    floor (368.5)     		tx = 368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9697265625 × 29)
    floor (0.9697265625 × 512)
    floor (496.5)     		ty = 496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 368 / 496 ti = "9/368/496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/368/496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 368 ÷ 29
    368 ÷ 512     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 496 ÷ 29
    496 ÷ 512     		y = 0.96875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.96875 × 2 - 1) × π
    -0.9375 × 3.1415926535     		Φ = -2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.94524311265625))-π/2
    2×atan(0.0525892731441516)-π/2
    2×0.0525408725809301-π/2
    0.10508174516186-1.57079632675     		φ = -1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 368 KachelY 496 1.37444679 -1.46571458 78.750000 -83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 369 KachelY 496 1.38671863 -1.46571458 79.453125 -83.979259
    Unten links KachelX 368 KachelY + 1 497 1.37444679 -1.46699393 78.750000 -84.052561
    Unten rechts KachelX + 1 369 KachelY + 1 497 1.38671863 -1.46699393 79.453125 -84.052561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.46571458--1.46699393) × R
    0.0012793499999999 × 6371000     		dl = 8150.73884999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.46571458--1.46699393) × R
    0.0012793499999999 × 6371000     		dr = 8150.73884999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.38671863) × cos(-1.46571458) × R
    0.0122718400000001 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 8200.58849128137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.38671863) × cos(-1.46699393) × R
    0.0122718400000001 × 0.103616086472973 × 6371000     		du = 8101.10898057994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.46571458)-sin(-1.46699393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.103616086472973)×R²
    abs(1.38671863-1.37444679)×0.00127237858518367×R²
    0.0122718400000001×0.00127237858518367×6371000²
    0.0122718400000001×0.00127237858518367×40589641000000     		ar = 66435448.5138772m²