Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 368 / 624
↖ ↑ ↗
← S 36.597889°
W 50.625000°		 ← 31.385 km → S 36.597889°
W 50.273437°		 →
↑
31.327 km
↓
↑
31.327 km
↓
S 36.879621°
W 50.625000°		 ← 31.270 km →
981.390 km²		 S 36.879621°
W 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35986328125 y=0.60986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35986328125 × 210)
    floor (0.35986328125 × 1024)
    floor (368.5)     		tx = 368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60986328125 × 210)
    floor (0.60986328125 × 1024)
    floor (624.5)     		ty = 624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 368 / 624 ti = "10/368/624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/368/624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 368 ÷ 210
    368 ÷ 1024     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 624 ÷ 210
    624 ÷ 1024     		y = 0.609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609375 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Φ = -0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687223392953125))-π/2
    2×atan(0.502970683966761)-π/2
    2×0.466021331079369-π/2
    0.932042662158738-1.57079632675     		φ = -0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 368 KachelY 624 -0.88357293 -0.63875366 -50.625000 -36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 369 KachelY 624 -0.87743701 -0.63875366 -50.273437 -36.597889
    Unten links KachelX 368 KachelY + 1 625 -0.88357293 -0.64367081 -50.625000 -36.879621
    Unten rechts KachelX + 1 369 KachelY + 1 625 -0.87743701 -0.64367081 -50.273437 -36.879621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63875366--0.64367081) × R
    0.00491715000000004 × 6371000     		dl = 31327.1626500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63875366--0.64367081) × R
    0.00491715000000004 × 6371000     		dr = 31327.1626500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.87743701) × cos(-0.63875366) × R
    0.00613592000000007 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 31384.5564204751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.87743701) × cos(-0.64367081) × R
    0.00613592000000007 × 0.79989816775706 × 6371000     		du = 31269.5762354257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63875366)-sin(-0.64367081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.79989816775706)×R²
    abs(-0.87743701--0.88357293)×0.00294127552790935×R²
    0.00613592000000007×0.00294127552790935×6371000²
    0.00613592000000007×0.00294127552790935×40589641000000     		ar = 981390079.571058m²