Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3680 / 1632
↖ ↑ ↗
← N 34.307144°
E143.437500°		 ← 8 072.76 m → N 34.307144°
E143.525391°		 →
↑
8 076.26 m
↓
↑
8 076.26 m
↓
N 34.234512°
E143.437500°		 ← 8 079.74 m →
65 225 910 m²		 N 34.234512°
E143.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8985595703125 y=0.3985595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8985595703125 × 212)
    floor (0.8985595703125 × 4096)
    floor (3680.5)     		tx = 3680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3985595703125 × 212)
    floor (0.3985595703125 × 4096)
    floor (1632.5)     		ty = 1632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3680 / 1632 ti = "12/3680/1632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3680/1632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3680 ÷ 212
    3680 ÷ 4096     		x = 0.8984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1632 ÷ 212
    1632 ÷ 4096     		y = 0.3984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8984375 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.50345665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3984375 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.50345665} λ = 2.50345665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638136007742187))-π/2
    2×atan(1.89294914621298)-π/2
    2×1.0847844720137-π/2
    2.1695689440274-1.57079632675     		φ = 0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.50345665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 143.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3680 KachelY 1632 2.50345665 0.59877262 143.437500 34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 3681 KachelY 1632 2.50499063 0.59877262 143.525391 34.307144
    Unten links KachelX 3680 KachelY + 1 1633 2.50345665 0.59750496 143.437500 34.234512
    Unten rechts KachelX + 1 3681 KachelY + 1 1633 2.50499063 0.59750496 143.525391 34.234512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59877262-0.59750496) × R
    0.00126766 × 6371000     		dl = 8076.26186000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59877262-0.59750496) × R
    0.00126766 × 6371000     		dr = 8076.26186000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.50345665-2.50499063) × cos(0.59877262) × R
    0.00153398000000005 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 8072.76079273346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.50345665-2.50499063) × cos(0.59750496) × R
    0.00153398000000005 × 0.826741850056355 × 6371000     		du = 8079.73700572537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59877262)-sin(0.59750496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.826741850056355)×R²
    abs(2.50499063-2.50345665)×0.000713826109839388×R²
    0.00153398000000005×0.000713826109839388×6371000²
    0.00153398000000005×0.000713826109839388×40589641000000     		ar = 65225909.691343m²