Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36863 / 36867
↖ ↑ ↗
← S 21.958330°
E 22.494507°		 ← 566.48 m → S 21.958330°
E 22.500000°		 →
↑
566.51 m
↓
↑
566.51 m
↓
S 21.963425°
E 22.494507°		 ← 566.46 m →
320 910 m²		 S 21.963425°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562492370605469 y=0.562553405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562492370605469 × 216)
    floor (0.562492370605469 × 65536)
    floor (36863.5)     		tx = 36863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562553405761719 × 216)
    floor (0.562553405761719 × 65536)
    floor (36867.5)     		ty = 36867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36863 / 36867 ti = "16/36863/36867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36863/36867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36863 ÷ 216
    36863 ÷ 65536     		x = 0.562484741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36867 ÷ 216
    36867 ÷ 65536     		y = 0.562545776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562484741210938 × 2 - 1) × π
    0.124969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39260321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562545776367188 × 2 - 1) × π
    -0.125091552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.39298670308522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39260321} λ = 0.39260321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39298670308522))-π/2
    2×atan(0.675037723445539)-π/2
    2×0.593775581891978-π/2
    1.18755116378396-1.57079632675     		φ = -0.38324516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39260321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38324516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.958330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36863 KachelY 36867 0.39260321 -0.38324516 22.494507 -21.958330
    Oben rechts KachelX + 1 36864 KachelY 36867 0.39269908 -0.38324516 22.500000 -21.958330
    Unten links KachelX 36863 KachelY + 1 36868 0.39260321 -0.38333408 22.494507 -21.963425
    Unten rechts KachelX + 1 36864 KachelY + 1 36868 0.39269908 -0.38333408 22.500000 -21.963425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38324516--0.38333408) × R
    8.89200000000478e-05 × 6371000     		dl = 566.509320000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38324516--0.38333408) × R
    8.89200000000478e-05 × 6371000     		dr = 566.509320000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39260321-0.39269908) × cos(-0.38324516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927456051509891 × 6371000     		do = 566.478813474719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39260321-0.39269908) × cos(-0.38333408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927422797794224 × 6371000     		du = 566.458502511883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38324516)-sin(-0.38333408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927456051509891-0.927422797794224)×R²
    abs(0.39269908-0.39260321)×3.32537156673141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32537156673141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32537156673141e-05×40589641000000     		ar = 320909.774452875m²