Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36864 / 36863
↖ ↑ ↗
← S 21.937950°
E 22.500000°		 ← 566.62 m → S 21.937950°
E 22.505493°		 →
↑
566.57 m
↓
↑
566.57 m
↓
S 21.943045°
E 22.500000°		 ← 566.60 m →
321 025 m²		 S 21.943045°
E 22.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562507629394531 y=0.562492370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562507629394531 × 216)
    floor (0.562507629394531 × 65536)
    floor (36864.5)     		tx = 36864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562492370605469 × 216)
    floor (0.562492370605469 × 65536)
    floor (36863.5)     		ty = 36863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36864 / 36863 ti = "16/36864/36863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36864/36863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36864 ÷ 216
    36864 ÷ 65536     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36863 ÷ 216
    36863 ÷ 65536     		y = 0.562484741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562484741210938 × 2 - 1) × π
    -0.124969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.39260320788826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39260320788826))-π/2
    2×atan(0.675296646815009)-π/2
    2×0.593953432110247-π/2
    1.18790686422049-1.57079632675     		φ = -0.38288946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38288946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.937950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36864 KachelY 36863 0.39269908 -0.38288946 22.500000 -21.937950
    Oben rechts KachelX + 1 36865 KachelY 36863 0.39279496 -0.38288946 22.505493 -21.937950
    Unten links KachelX 36864 KachelY + 1 36864 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 36865 KachelY + 1 36864 0.39279496 -0.38297839 22.505493 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38288946--0.38297839) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dl = 566.573029999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38288946--0.38297839) × R
    8.89299999999871e-05 × 6371000     		dr = 566.573029999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39279496) × cos(-0.38288946) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.927589000510194 × 6371000     		do = 566.619113793657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39279496) × cos(-0.38297839) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 566.59881634947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38288946)-sin(-0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927589000510194-0.927555772393619)×R²
    abs(0.39279496-0.39269908)×3.32281165748016e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.32281165748016e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.32281165748016e-05×40589641000000     		ar = 321025.35837722m²