Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36864 / 61440
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
E 22.500000°		 ← 77.87 m → S 82.676285°
E 22.505493°		 →
↑
77.85 m
↓
↑
77.85 m
↓
S 82.676985°
E 22.500000°		 ← 77.86 m →
6 062 m²		 S 82.676985°
E 22.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562507629394531 y=0.937507629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562507629394531 × 216)
    floor (0.562507629394531 × 65536)
    floor (36864.5)     		tx = 36864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937507629394531 × 216)
    floor (0.937507629394531 × 65536)
    floor (61440.5)     		ty = 61440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36864 / 61440 ti = "16/36864/61440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36864/61440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36864 ÷ 216
    36864 ÷ 65536     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61440 ÷ 216
    61440 ÷ 65536     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36864 KachelY 61440 0.39269908 -1.44297339 22.500000 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 36865 KachelY 61440 0.39279496 -1.44297339 22.505493 -82.676285
    Unten links KachelX 36864 KachelY + 1 61441 0.39269908 -1.44298561 22.500000 -82.676985
    Unten rechts KachelX + 1 36865 KachelY + 1 61441 0.39279496 -1.44298561 22.505493 -82.676985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.44298561) × R
    1.22200000001182e-05 × 6371000     		dl = 77.8536200007534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.44298561) × R
    1.22200000001182e-05 × 6371000     		dr = 77.8536200007534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39279496) × cos(-1.44297339) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 77.8683804998923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39279496) × cos(-1.44298561) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.127463023887498 × 6371000     		du = 77.8609767869923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.44298561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.127463023887498)×R²
    abs(0.39279496-0.39269908)×1.21203158909289e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.21203158909289e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.21203158909289e-05×40589641000000     		ar = 6062.04710281417m²