Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36871 / 36873
↖ ↑ ↗
← S 21.988895°
E 22.538452°		 ← 566.36 m → S 21.988895°
E 22.543945°		 →
↑
566.38 m
↓
↑
566.38 m
↓
S 21.993989°
E 22.538452°		 ← 566.34 m →
320 769 m²		 S 21.993989°
E 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562614440917969 y=0.562644958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562614440917969 × 216)
    floor (0.562614440917969 × 65536)
    floor (36871.5)     		tx = 36871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562644958496094 × 216)
    floor (0.562644958496094 × 65536)
    floor (36873.5)     		ty = 36873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36871 / 36873 ti = "16/36871/36873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36871/36873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36871 ÷ 216
    36871 ÷ 65536     		x = 0.562606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36873 ÷ 216
    36873 ÷ 65536     		y = 0.562637329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562606811523438 × 2 - 1) × π
    0.125213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39337020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562637329101562 × 2 - 1) × π
    -0.125274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.393561945880661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39337020} λ = 0.39337020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393561945880661))-π/2
    2×atan(0.674649524523498)-π/2
    2×0.593508854386905-π/2
    1.18701770877381-1.57079632675     		φ = -0.38377862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39337020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38377862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.988895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36871 KachelY 36873 0.39337020 -0.38377862 22.538452 -21.988895
    Oben rechts KachelX + 1 36872 KachelY 36873 0.39346607 -0.38377862 22.543945 -21.988895
    Unten links KachelX 36871 KachelY + 1 36874 0.39337020 -0.38386752 22.538452 -21.993989
    Unten rechts KachelX + 1 36872 KachelY + 1 36874 0.39346607 -0.38386752 22.543945 -21.993989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38377862--0.38386752) × R
    8.89000000000029e-05 × 6371000     		dl = 566.381900000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38377862--0.38386752) × R
    8.89000000000029e-05 × 6371000     		dr = 566.381900000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39337020-0.39346607) × cos(-0.38377862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927256441693032 × 6371000     		do = 566.356894239809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39337020-0.39346607) × cos(-0.38386752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927223151478951 × 6371000     		du = 566.336560984188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38377862)-sin(-0.38386752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927256441693032-0.927223151478951)×R²
    abs(0.39346607-0.39337020)×3.32902140803837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32902140803837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32902140803837e-05×40589641000000     		ar = 320768.535854907m²