Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 369 / 49
↖ ↑ ↗
← N 80.983688°
E 79.453125°		 ← 12.253 km → N 80.983688°
E 80.156250°		 →
↑
12.327 km
↓
↑
12.327 km
↓
N 80.872827°
E 79.453125°		 ← 12.402 km →
151.961 km²		 N 80.872827°
E 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7216796875 y=0.0966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7216796875 × 29)
    floor (0.7216796875 × 512)
    floor (369.5)     		tx = 369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966796875 × 29)
    floor (0.0966796875 × 512)
    floor (49.5)     		ty = 49
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 369 / 49 ti = "9/369/49"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/369/49.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 369 ÷ 29
    369 ÷ 512     		x = 0.720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49 ÷ 29
    49 ÷ 512     		y = 0.095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.720703125 × 2 - 1) × π
    0.44140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.38671863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095703125 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.38671863} λ = 1.38671863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54027218466602))-π/2
    2×atan(12.6831226525684)-π/2
    2×1.49211416408574-π/2
    2.98422832817148-1.57079632675     		φ = 1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.38671863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 79.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 369 KachelY 49 1.38671863 1.41343200 79.453125 80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 370 KachelY 49 1.39899048 1.41343200 80.156250 80.983688
    Unten links KachelX 369 KachelY + 1 50 1.38671863 1.41149711 79.453125 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 370 KachelY + 1 50 1.39899048 1.41149711 80.156250 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41343200-1.41149711) × R
    0.00193489000000002 × 6371000     		dl = 12327.1841900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41343200-1.41149711) × R
    0.00193489000000002 × 6371000     		dr = 12327.1841900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.38671863-1.39899048) × cos(1.41343200) × R
    0.0122718499999999 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 12252.6493634615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.38671863-1.39899048) × cos(1.41149711) × R
    0.0122718499999999 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 12402.0344712018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41343200)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.15862633525071)×R²
    abs(1.39899048-1.38671863)×0.00191068749541815×R²
    0.0122718499999999×0.00191068749541815×6371000²
    0.0122718499999999×0.00191068749541815×40589641000000     		ar = 151961461.797504m²