Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36932 / 36932
↖ ↑ ↗
← S 22.289096°
E 22.873535°		 ← 565.15 m → S 22.289096°
E 22.879028°		 →
↑
565.17 m
↓
↑
565.17 m
↓
S 22.294179°
E 22.873535°		 ← 565.13 m →
319 401 m²		 S 22.294179°
E 22.879028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563545227050781 y=0.563545227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563545227050781 × 216)
    floor (0.563545227050781 × 65536)
    floor (36932.5)     		tx = 36932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563545227050781 × 216)
    floor (0.563545227050781 × 65536)
    floor (36932.5)     		ty = 36932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36932 / 36932 ti = "16/36932/36932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36932/36932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36932 ÷ 216
    36932 ÷ 65536     		x = 0.56353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36932 ÷ 216
    36932 ÷ 65536     		y = 0.56353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56353759765625 × 2 - 1) × π
    0.1270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39921850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.399218500035828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39921850} λ = 0.39921850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.399218500035828))-π/2
    2×atan(0.670844105877302)-π/2
    2×0.59088910350213-π/2
    1.18177820700426-1.57079632675     		φ = -0.38901812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39921850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38901812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.289096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36932 KachelY 36932 0.39921850 -0.38901812 22.873535 -22.289096
    Oben rechts KachelX + 1 36933 KachelY 36932 0.39931437 -0.38901812 22.879028 -22.289096
    Unten links KachelX 36932 KachelY + 1 36933 0.39921850 -0.38910683 22.873535 -22.294179
    Unten rechts KachelX + 1 36933 KachelY + 1 36933 0.39931437 -0.38910683 22.879028 -22.294179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38901812--0.38910683) × R
    8.87099999999919e-05 × 6371000     		dl = 565.171409999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38901812--0.38910683) × R
    8.87099999999919e-05 × 6371000     		dr = 565.171409999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39921850-0.39931437) × cos(-0.38901812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92528191335139 × 6371000     		do = 565.150876477216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39921850-0.39931437) × cos(-0.38910683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.925248263774598 × 6371000     		du = 565.130323727246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38901812)-sin(-0.38910683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92528191335139-0.925248263774598)×R²
    abs(0.39931437-0.39921850)×3.36495767925271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36495767925271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36495767925271e-05×40589641000000     		ar = 319401.310017341m²