Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36992 / 20608
↖ ↑ ↗
← N 55.379110°
E 23.203125°		 ← 347.02 m → N 55.379110°
E 23.208618°		 →
↑
347.03 m
↓
↑
347.03 m
↓
N 55.375989°
E 23.203125°		 ← 347.04 m →
120 429 m²		 N 55.375989°
E 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564460754394531 y=0.314460754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564460754394531 × 216)
    floor (0.564460754394531 × 65536)
    floor (36992.5)     		tx = 36992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314460754394531 × 216)
    floor (0.314460754394531 × 65536)
    floor (20608.5)     		ty = 20608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36992 / 20608 ti = "16/36992/20608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36992/20608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36992 ÷ 216
    36992 ÷ 65536     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20608 ÷ 216
    20608 ÷ 65536     		y = 0.314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314453125 × 2 - 1) × π
    0.37109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16582539875977))-π/2
    2×atan(3.2085701403456)-π/2
    2×1.26867207045967-π/2
    2.53734414091934-1.57079632675     		φ = 0.96654781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96654781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.379110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36992 KachelY 20608 0.40497093 0.96654781 23.203125 55.379110
    Oben rechts KachelX + 1 36993 KachelY 20608 0.40506680 0.96654781 23.208618 55.379110
    Unten links KachelX 36992 KachelY + 1 20609 0.40497093 0.96649334 23.203125 55.375989
    Unten rechts KachelX + 1 36993 KachelY + 1 20609 0.40506680 0.96649334 23.208618 55.375989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96654781-0.96649334) × R
    5.44700000000287e-05 × 6371000     		dl = 347.028370000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96654781-0.96649334) × R
    5.44700000000287e-05 × 6371000     		dr = 347.028370000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40506680) × cos(0.96654781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568143819206898 × 6371000     		do = 347.015296372657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40506680) × cos(0.96649334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568188643321948 × 6371000     		du = 347.042674393931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96654781)-sin(0.96649334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568143819206898-0.568188643321948)×R²
    abs(0.40506680-0.40497093)×4.4824115050579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4824115050579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4824115050579e-05×40589641000000     		ar = 120428.90316982m²