Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37120 / 4352
↖ ↑ ↗
← N 82.494824°
E 23.906250°		 ← 79.79 m → N 82.494824°
E 23.911743°		 →
↑
79.83 m
↓
↑
79.83 m
↓
N 82.494106°
E 23.906250°		 ← 79.79 m →
6 370 m²		 N 82.494106°
E 23.911743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566413879394531 y=0.0664138793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566413879394531 × 216)
    floor (0.566413879394531 × 65536)
    floor (37120.5)     		tx = 37120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0664138793945312 × 216)
    floor (0.0664138793945312 × 65536)
    floor (4352.5)     		ty = 4352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37120 / 4352 ti = "16/37120/4352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37120/4352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37120 ÷ 216
    37120 ÷ 65536     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4352 ÷ 216
    4352 ÷ 65536     		y = 0.06640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06640625 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72434987920703))-π/2
    2×atan(15.246498638356)-π/2
    2×1.50530130733126-π/2
    3.01060261466252-1.57079632675     		φ = 1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37120 KachelY 4352 0.41724277 1.43980629 23.906250 82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 37121 KachelY 4352 0.41733865 1.43980629 23.911743 82.494824
    Unten links KachelX 37120 KachelY + 1 4353 0.41724277 1.43979376 23.906250 82.494106
    Unten rechts KachelX + 1 37121 KachelY + 1 4353 0.41733865 1.43979376 23.911743 82.494106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980629-1.43979376) × R
    1.25300000000106e-05 × 6371000     		dl = 79.8286300000675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980629-1.43979376) × R
    1.25300000000106e-05 × 6371000     		dr = 79.8286300000675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41733865) × cos(1.43980629) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 79.7868313375756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41733865) × cos(1.43979376) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.130628184332645 × 6371000     		du = 79.7944197293028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980629)-sin(1.43979376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.130628184332645)×R²
    abs(0.41733865-0.41724277)×1.24226460534171e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.24226460534171e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.24226460534171e-05×40589641000000     		ar = 6369.57632341457m²