Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37124 / 37124
↖ ↑ ↗
← S 23.261534°
E 23.928223°		 ← 561.14 m → S 23.261534°
E 23.933716°		 →
↑
561.16 m
↓
↑
561.16 m
↓
S 23.266581°
E 23.928223°		 ← 561.12 m →
314 881 m²		 S 23.266581°
E 23.933716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566474914550781 y=0.566474914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566474914550781 × 216)
    floor (0.566474914550781 × 65536)
    floor (37124.5)     		tx = 37124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566474914550781 × 216)
    floor (0.566474914550781 × 65536)
    floor (37124.5)     		ty = 37124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37124 / 37124 ti = "16/37124/37124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37124/37124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37124 ÷ 216
    37124 ÷ 65536     		x = 0.56646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37124 ÷ 216
    37124 ÷ 65536     		y = 0.56646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    0.1329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41762627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.417626269489929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41762627} λ = 0.41762627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417626269489929))-π/2
    2×atan(0.658608324460202)-π/2
    2×0.58240298325759-π/2
    1.16480596651518-1.57079632675     		φ = -0.40599036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41762627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40599036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.261534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37124 KachelY 37124 0.41762627 -0.40599036 23.928223 -23.261534
    Oben rechts KachelX + 1 37125 KachelY 37124 0.41772214 -0.40599036 23.933716 -23.261534
    Unten links KachelX 37124 KachelY + 1 37125 0.41762627 -0.40607844 23.928223 -23.266581
    Unten rechts KachelX + 1 37125 KachelY + 1 37125 0.41772214 -0.40607844 23.933716 -23.266581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40599036--0.40607844) × R
    8.80799999999904e-05 × 6371000     		dl = 561.157679999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40599036--0.40607844) × R
    8.80799999999904e-05 × 6371000     		dr = 561.157679999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41762627-0.41772214) × cos(-0.40599036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918711726076322 × 6371000     		do = 561.137886442995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41762627-0.41772214) × cos(-0.40607844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918676937183127 × 6371000     		du = 561.1166378125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40599036)-sin(-0.40607844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918711726076322-0.918676937183127)×R²
    abs(0.41772214-0.41762627)×3.47888931955254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47888931955254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47888931955254e-05×40589641000000     		ar = 314880.87280399m²